Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Baik sesuai judul konten kita pada kali ini yang akan dibahas tentang Teorema Sisa dan Teorema Faktor.

Sebelumnya suatu bilangan atau suatu polinom itu sendiri dapat kita tulis sebagai $p(x)=q(x).h(x)+s(x)$.
Dimana : $q(x)$ merupakan pembagi dari $p(x)$
                $h(x)$ merupakan hasil baginya
                $s(x)$ merupakan sisanya
Teorema Sisa menyatakan bahwa jika $p(x)$ dibagi oleh $x-a$ maka akan bersisa $p(a)$.

Bukti Teorema Sisa : Sebelumnya kita tahu bahwa suatu polinom itu sendiri dapat kita tulis sebagai $p(x)=q(x).h(x)+s(x)$. Dengan mengganti $q(x)=x-a$ maka didapatkan $p(x)=(x-a)h(x)+s(x)$. Mengingat bahwa sisanya adalah konstan maka bisa ditulis $p(x)=(x-a)h(x)+s$. Maka dari itu dengan substitusi $x=a$ didapat $p(a)=s$. Artinya sisa dari pembagian tersebut sama dengan $p(a)$. Terbukti.

Sebagai contoh : Tentukan sisa pembagian dari $x^3+x^2-2x-3$ oleh $x-3$.
Cara mencarinya culup mudah yaitu dengan menggunakan teorema sisa maka diperoleh sisa pembagiannya sama dengan $3^3+3^2-2.3-3=27$. Jadi sisa pembagian dari $x^3+x^2-2x-3$ oleh $x-3$ adalah $27$.

Teorema Faktor menyatakan bahwa $x-a$ merupakan faktor dari $p(x)$ jika dan hanya jika $p(a)=0$.
Bukti Teorema Faktor : Sebelumnya berdasarkan teorema sisa maka $p(x)=(x-a)h(x)+p(a)$. Kita buktikan dengan dua arah.
Arah ke kanan (jika $x-a$ merupakan faktor dari $p(x)$ maka $p(a)=0$)
Karena $x-a$ merupakan faktor dari $p(x)$ kita bagi kedua ruas dengan $x-a$ diperoleh
$\frac{p(x)}{x-a}=h(x)+\frac{p(a)}{x-a}$.
Oleh karenanya $x-a$ harus membagi $p(a)$. Padahal $p(a)$ sendiri merupakan sisa dari $p(x)$ dibagi $x-a$ sehingga $0\leq p(a) < x-a$. Jadi, haruslah $p(a)=0$.

Arah ke kiri (jika $p(a)=0$ maka $x-a$ merupakan faktor dari $p(x)$)
Jelas karena $p(a)=0$ maka $p(x)=(x-a)h(x)$. Maka dari itu $x-a$ merupakan faktor dari $p(x)$.
Jadi terbukti.
Oleh sebab itu kesimpulan yang dapat kita ambil diantaranya yaitu

• $x-a$ merupakan faktor bagi $p(x)$
• $p(x)$ dibagi oleh $x-a$ akan bersisa nol
• $p(a)=0$
• Salah satu solusi untuk $p(x)=0$ adalah $x=a$
• Salah satu pembuat nol bagi $p(x)$ adalah $a$

Sebagai contoh : Misalkan $p(x)=2x^4-x^3-3x^2-5x-2$. Cek apakah $x-2$ merupakan faktor dari $p(x)$. Cek juga apakah $x=-\frac{1}{2}$ adalah salah satu solusi dari $p(x)=0$.

Pertama kita cek apakah $x-2$ merupakan faktor dari $p(x)$. Caranya mudah yaitu cek apakah $p(2)=0$. Karena $p(2)=2.2^4-2^3-3.2^2-5.2-2=0$ maka $x-2$ merupakan faktor bagi $f(x)$.

Kedua kita cek juga apakah $x=-\frac{1}{2}$ adalah salah satu solusi dari $p(x)=0$. Caranya sama yaitu cek apakah $p(-\frac{1}{2})=0$. Dan kalian tinggal melakukan susbstitusi $x=-\frac{1}{2}$ pada $p(x)$ sehingga didapatkan bahwa $p(-\frac{1}{2})=0$. Maka dari itu $x=-\frac{1}{2}$ adalah salah satu solusi dari $p(x)=0$. Dan kita selesai.