Ketaksamaan Mean Quadratik-Aritmetik-Geometrik-Harmonik (QM-AM-GM-HM)

 Hallo guys di kesempatan kita kali ini akan membahas tentang ketaksamaan AM-GM, QM-AM, AM-HM, dan lain-lain. Ketaksamaan ini mungkin tidak dipelajari di kurikulum sekolah. Akan tetapi ini cukup penting dalam mengikuti olimpiade matematika serta kadang kala dapat membantu dalam menjawab sebuah permasalahan.

Pertama kita akan mendefinisikan terlebih dahulu Rataan Quadratik (Quadratic Mean), Rataan Aritmetik (Arithmetic Mean), Rataan Geometrik (Geometric Mean), dan Rataan Harmonik (Harmonic Mean).

Untuk $n$ bilangan real $a_1,a_2,\cdots ,a_n$,

-) Rataan Quadratik (QM) adalah $\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}}$

-) Rataan Aritmetik (AM) adalah $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$

-) Rataan Geometrik (GM) adalah $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$

-) Rataan Harmonik (HM) adalah $\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$

Teorema Ketaksamaan AM-QM :

Untuk setiap $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ bilangan real positif berlaku 

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\leq \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}}$

Kesamaan terjadi hanya ketika $a_1=a_2=\cdots =a_n$ untuk $n\geq 2$

Teorema Ketaksamaan AM-GM :

Untuk setiap $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ bilangan real positif berlaku 

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$

Kesamaan terjadi hanya ketika $a_1=a_2=\cdots =a_n$ untuk $n\geq 2$

Teorema Ketaksamaan AM-HM :

Untuk setiap $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ bilangan real positif berlaku 

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$

Kesamaan terjadi hanya ketika $a_1=a_2=\cdots =a_n$ untuk $n\geq 2$

Dapat disimpulkan bahwa, ketaksamaan daripada empat rataan tersebut adalah

$QM\geq AM\geq GM\geq HM$

Contoh soal :

1. Untuk sebarang $a,b,c$ bilangan real positif. Buktikan bahwa $(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8abc$

Jawab : Ambil sebarang bilangan real $a,b,c>0$. Perhatikan bahwa dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, kita punya $a+b\geq 2\sqrt{ab}$. Dengan hal yang sama kita juga punya $b+c\geq 2\sqrt{bc}$ dan $a+c\geq 2\sqrt{ac}$. Dengan mengalikan ketiga ketaksamaan tersebut, kita dapatkan $(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8abc$ (Terbukti).

2. Diberikan $a,b,c,d$ bilangan real positif. Tunjukan bahwa $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4$

Jawab : Karena $a,b,c,d>0$ maka $\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{d},\frac{d}{a}>0$. Menurut ketaksamaan AM-GM,

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{a}}=4$

3. Buktikan bahwa jika $x,y,z$ bilangan real positif maka

$\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{x+z}{x^2+z^2}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Jawab : Perhatikan bahwa menurut ketaksamaan AM-QM,

$\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\leq \frac{x^2+y^2}{2}$

Akibatnya,

$\frac{x+y}{x^2+y^2}\leq \frac{2}{x+y}$

Kemudian menurut ketaksamaan AM-HM,

$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\leq \frac{x+y}{2}$

atau

$\frac{2}{x+y}\leq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}$

Berdasarkan ketaksamaan yang didapat sebelumnya kita peroleh bahwa

$\frac{x+y}{x^2+y^2}\leq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2}$

Dengan cara yang sama, didapatkan

$\frac{y+z}{y^2+z^2}\leq \frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{2}$

$\frac{x+z}{x^2+z^2}\leq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}{2}$

Dengan menjumlah ketiga ketaksamaan tersebut, kita berhasil membuktikan bahwa

$\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{x+z}{x^2+z^2}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$