Barisan dan Deret Bilangan

 Hello pada blog ini akan dibahas tentang barisan dan deret bilangan, yakni tentang barisan dan deret aritmetika dan juga barisan dan deret geometri. 

Konten yang akan dibahas adalah : Definisi barisan aritmetika, Mencari suku ke $n$ barisan dan deret aritmetika, Definisi deret aritmetika, Mencari jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika, Mencari nilai suku tengah barisan aritmetika, Definisi barisan geometri, Barisan geometri konvergen dan divergen, Jumlah $n$ suku pertama deret geometri, Deret geometri tak hingga, Jumlah deret geometri tak hingga

Perhatikan definisi berikut.

Suatu barisan bilangan sebut saja $U_1,U_2,U_3,\cdots ,U_n$ dinamakan barisan aritmetika jika setiap dua suku berurutannya mempunyai selisih yang sama atau konstant. Selisih disini kita sepakati yaitu $Un-U_{n-1}$ atau kita sebut sebagai beda barisan dan kita notasikan sebagai $b$. Dan juga suku pertama yaitu $U_1$ untuk selanjutnya kita notasikan sebagai $a$. Sebagai contoh barisan aritmetika yaitu

-) $1,3,5,7,9$

Yang merupakan barisan aritmetika dengan suku pertamanya adalah $1$ dan beda $2$

-) $2,6,10,14$

Yang merupakan barisan aritmetika dengan suku pertamanya adalah $2$ dan beda $4$

Dari definisi tersebut, perhatikan bahwa kita juga dapat mencari suku ke-n barisan aritmetika tersebut dengan menggunakan rumus yaitu

$U_n=a+(n-1)b$

Dan juga $b=Un-U_{n-1}$. 

Kemudian sekarang kita berkenalan dengan deret aritmetika. Karena tadi kalian sudah paham tentang barisan aritmetika, nahh deret aritmetika ini adalah jumlah dari suku suku pada barisan aritmetika dengan kata lain yaitu $U_1+U_2+U3+\cdots +U_n$.

Dimana, Rumus untuk mencari jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika yaitu

$S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$

Atau karena $Un=a+(n-1)b$,

$S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

Perhatikan bahwa $U_n=S_n-S_{n-1}$. Jadi, misal diketahui jumlah $10$ suku pertama barisan aritmetika adalah $2021$ sedangkan jumlah $9$ suku pertamanya adalah $2001$ maka untuk mencari $U_{10}$ bisa didapat yaitu

$U_{10}=S_{10}-S_9=2021-2001=20$

Nah jadi itu dia terkait barisan dan deret aritmetika. Owh iya kita melupakan satu hal lagi, biasanya ini juga digunakan walaupun jarang juga. Untuk mencari suku tengah barisan aritmetika bisa kita gunakan rumus mencari suku tengah yakni

$U_{tengah}=\frac{1}{2}(a+U_n)$

yang analog dengan teorema nilai antara/rata rata. Dan perlu juga diketahui ini berlaku untuk $n$ ganjil. Karena jika $n$ genap maka tidak terdapat suku yang berada tepat ditengah tengah barisan.

Kemudian kita selanjutnya akan membahas tentang barisan dan deret geometri. Suatu barisan dikatakan barisan geometri jika rasio antara dua suku berurutannya akan selalu tetap. Rasio kita lambangkan dengan $r$ merupakan perbandingan antara suku ke $n$ dengan suku ke $n-1$. Dengan kata lain $r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$. Contohnya :

-) $1,2,4,8,16$

Yang merupakan barisan geometri dengan suku pertamanya adalah $1$ dan rasionya $2$.

-) $2,6,18,54$

Yang merupakan barisan geometri dengan suku pertamanya adalah $2$ dan rasionya $3$.

-) $8,2,\frac{1}{2},\frac{1}{8}$

Yang merupakan barisan geometri dengan suku pertamanya adalah $8$ dan rasionya $\frac{1}{4}$.

Di dalam barisan geometri ini ada istilah penting juga yaitu barisan geometri divergen dan barisan geometri konvergen. Nahh apa itu??? Barisan geometri divergen yaitu barisan geometri yang memiliki nilai mutlak rasionya lebih dari satu. dan sebaliknya untuk barisan geometri konvergen. Dengan kata lain,

-) Suatu barisan geometri dikatakan divergen jika $|r|>1$.

-) Suatu barisan geometri dikatakan konvergen jika $|r|<1$.

Nahh,, istilah ini cukup penting karena berkaitan dengan mencari jumlah suku sukunya.

Rumus suku ke-n barisan geometri yaitu

$U_n=ar^{n-1}$

Kemudian Rumus untuk mencari jumlah $n$ suku pertama barisan geometri yaitu :

-) Jika deret tsb divergen, $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

-) Jika deret tsb konvergen, $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

Oke, nahh sama dengan sebelumnya $U_n=S_n-S_{n-1}$. Dan untuk rumus tengah barisan geometri dapat dicari dengan rumus

$U_t=\sqrt{a.U_n}$

Nahh uniknya nihh,, untuk dari barisan aritmetika ada istilah barisan geometri tak hingga, yaitu banyaknya suku pada barisan geometri tersebut tak hingga banyaknya. Untuk menyimbolkan bahwa itu tak hingga biasanya ditulis dengan titik titik, yang mengartikan dan seterusnya. Sebagai contoh :

-) $2,4,8,16,\cdots$

-) $6,2,\frac{2}{3},\frac{2}{9},\cdots$

Nahh, untuk deret geometri tak hingga yang konvergen kita bisa dapatkan jumlah tak hingga suku suku nya adalah sebagai berikut.

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$

Buktinya :

Perhatikan untuk rumus Jumlah $n$ suku pertama barisan geometri konvergen yaitu

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

Perhatikan bahwa $|r|<1$, karenanya untuk $n\to\infty$ maka $r^n\to 0$. Jadi didapat

$S_{n\to\infty}\to \frac{a(1-0)}{1-r}=\frac{a}{1-r}$

Oke itu dia pembahasan terkait barisan dan deret aritmetika dan geometri. Untuk melatih kemampuan anda, silahkan kerjakan soal berikut.

Hitunglah jumlah $100$ suku pertama pada setiap deret aritmetika di bawah ini.

a. $3+4+5+6+\cdots$

b. $3+6+9+12+\cdots$

c. $20+13+6+(-1)+\cdots$