Himpunan dan Relasinya

Pada kesempatan kali ini akan dibahas tentang konsep himpunan, himpunan kuasa, himpunan kosong dan himpunan semesta, himpunan berhingga (finit) dan himpunan tak berhingga (infinit), serta relasi antar himpunan. Silahkan kalian simak pembahasannya!!!

Konsep Himpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang dalam matematika. Himpunan adalah kumpulan objek baik konkret maupun abstrak yang mempunyai syarat tertentu dan jelas.
Teori Himpunan dapat membantu kita dalam membandingkan antara himpunan yang satu dengan himpunan yang lain dengan melihat hubungan diantaranya.

Himpunan, Anggota Himpunan, dan Notasi Himpunan

Pada umumnya himpunan diberi nama dengan huruf kapital, misalnya A,B,C,... sedangkan anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya a,b,c...
Cara untuk menyatakan suatu himpunan itu ada 3 cara yaitu :

1. Dengan menuliskan semua anggotanya diantara 2 kurung kurawal. Contohnya : A={1,3,5,7,9}
2. Dengan menyatakan sifat sifat yang dipenuhi. Contohnya : A=Himpunan lima bilangan ganjil positif pertama
3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contohnya : A={x|x adalah lima bilangan ganjil positif pertama}

Kemudian notasi $x\in A$ menyatakan bahwa $x$ adalah anggota dari himpunan $A$, dan notasi $x\notin A$ menyatakan bahwa $x$ bukan merupakan anggota dari himpunan $A$.

Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Simbol atau notasi himpunan kosong adalah $\varnothing$ atau $\{\}$. Atau bisa juga dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan kosong yaitu $x|x\neq x$. Contoh himpunan kosong misalnya A adalah himpunan bilangan bulat yang tidak genap dan tidak ganjil.

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan, yang biasanya disimbolkan dengan $S$. Sebagai contoh misalkan diketahui A adalah himpunan bilangan asli, maka himpunan semesta dari A kemungkinannya yaitu :

1. S adalah himpunan bilangan cacah,
2. S adalah himpunan bilangan bulat,
3. S adalah himbunan bilangan rasional,
4. S adalah himpunan bilangan real, dsb.

Himpunan Berhingga (Finit) dan Tak Berhingga (Infinit)

Suatu himpunan dikatakan berhingga (Finit) jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dari himpunan tersebut maka proses yang kita lakukan akan berhenti pada suatu saat. Himpunan yang tidak memenuhi syarat tersebut disebut himpunan tak berhingga.

Relasi Antar Himpunan

Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan $A$ dan $B$ dikatakan saling lepas jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak memiliki anggota yang sama. Sebagai contoh yaitu, himpunan bilangan positif dan himpunan bilangan negatif merupakan himpunan yang saling lepas. Beda halnya dengan himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan genap bukan merupakan himpunan yang saling lepas, karena kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama yakni 2.

Himpunan Berpotongan

Dua himpunan $A$ dan $B$ dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota $A$ yang juga angggota dari $B$. Sebagai contoh yaitu, $A=\{x|x^2-1=0\}$ dan $B=\{x|x^2+3x+2=0\}$. Maka $A$ dan $B$ adalah dua himpunan yang saling berpotongan karena ada anggota $A$ yaitu $-1$ yang juga merupakan anggota dari $B$.

Himpunan Bagian atau Subset

Himpunan $A$ dikatakan himpunan bagian dari himpunan $B$ atau subset dari $B$ jika dan hanya jika setiap anggota dari $A$ merupakan anggota dari $B$. Dan dinotasikan dengan $A\subset B$. Sebagai contoh misalnya $A$ adalah himpunan bilangan asli dan $B$ adalah himpunan bilangan bulat. Dan sebagai mana kita ketahui bahwa bilangan asli anggota dari bilangan bulat jadi $A\subset B$.

$A$ subset dari $B$ juga dituliskan sebagai $B\supset A$, dibaca $B$ superset dari $A$ atau $B$ memuat $A$. Jika $A$ bukan merupakan subset dari $B$ maka ditulis $A\not\subset B$

Himpunan Yang Sama

Himpunan $A$ dan $B$ dikatakan sama jika dan hanya jika $A\subset B$ dan $B\subset A$. Contohnya : $A=\{x|x^2-1=0\}$ dan $B=\{-1,1\}$ maka $A=B$

Himpunan Ekivalen

Himpunan $A$ dan $B$ dikatakan ekivalen jika dan hanya jika setiap anggota $A$ bisa dipasangkan dengan setiap anggota $B$. Atau dengan kata lain Himpunan $A$ dan $B$ dikatakan ekivalen jika dan hanya jika $A$ dan $B$ berkorespondensi satu satu.

Sebelumnya, kita tahu bahwa himpunan ada yang berhingga (finit) dan ada juga yang tak berhingga (infinit). Pada kasus dimana himpunan $A$ dan $B$ merupakan himpunan berhingga (finit), maka $A$ ekivalen dengan $B$ jika dan hanya jika banyak anggota dari $A$ sama dengan banyak anggota dari $B$, ditulis dengan $n(A)=n(B)$. Sedangkan jika himpunan $A$ dan $B$ merupakan himpunan tak berhingga (infinit), maka $A$ ekivalen dengan $B$ jika dan hanya jika kardinalitas dari $A$ sama dengan kardinalitas dari $B$.

Sebagai contoh : $X=\{1,2,3\}$ dan $Y=\{a,b,c\}$ keduanya adalah himpunan yang ekivalen karena $n(X)=n(Y)$.

Misalkan contoh untuk himpunan yang tak berhingga yaitu $A$ adalah himpunan bilangan asli dan $B$ adalah himpunan bilangan bulat. Jelas keduanya himpunan tak berhingga. Lalu bagaimana cara agar memasangkan setiap anggota dari $A$ dengan setiap anggota dari $B$.

Kita pasangkan saja seperti berikut.

Atau bisa dituliskan sebagai berikut.

$f:A\to B$ didefinisikan oleh

$f(a)=\begin{cases}0& a=1\\ -\frac{a}{2}& a\ \text{genap}\\ \frac{a-1}{2}& a\ \text{ganjil}> 1\end{cases}$

Diagram Venn

Pada saat kita SMP tentu kita sudah kenal dengan yang namanya diagram venn. Jadi, diagram venn adalah metode untuk menggambarkan himpunan dengan menggunakan diagram. Dimana suatu himpunan digambarkan dengan daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup, sedangkan semestanya biasanya digambarkan dengan persegi panjang. Dan untuk menggambarkan anggota angota himpunan bisa digunakan noktah-noktah. Tetapi apabila seandainya himpunan tersebut mempunyai anggota yang cukup banyak, maka anggotanya tidak usah digambarkan. Seperti yang dicontohkan dalam gambar dibawah ini.

Contoh : $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ dan $A=\{1,2,3,4\}$. Diagram venn nya adalah

Contoh : $S$ himpunan bilangan rasional, $A$ himpunan bilangan bulat, dan $B$ himpunan bilangan asli. Diagram venn nya adalah