Pembahasan Soal Matematika Polinomial Dengan Teorema Vieta

Hello sahabat semuanya, maaf nih admin jarang post artikel di blog ini. Tapi kali ini admin akan membahas lagi tentang soal matematika yang di tanyakan oleh teman di Whatsapp. Pada postingan kali ini dibahas tentang soal olimpiade terkait polinomial.

Teorema Vieta

Diberikan suatu bilangan asli $n$ dan polinomial 

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0$

dimana $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_0$ merupakan bilangan real dengan $a_n\neq 0$. Misalkan $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ adalah akar-akar dari $P(x)$ maka menurut vieta berlaku:

$\begin{align*}x_1+x_2+\cdots +x_n&=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ x_1x_2+x_1x_3+\cdots +x_{n-1}x_n&=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ &\vdots \\ x_1x_2x_3\cdots x_n&=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{align*}$

Permasalahannya adalah sebagai berikut

Suatu Polinomial $P(x)=x^7-7$ memiliki akar-akar $b_1,b_2,\cdots ,b_7$ sehingga

$\begin{align}B=\prod_{1\leq i< j\leq 7} (b_i+b_j)\end{align}$

Dengan begitu, $B$ merupakan hasil kali dari semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $b_i+b_j$ dengan $i,j$ bilangan bulat memenuhi $1\leq i< j\leq 7$. Nilai dari $\sqrt[3]{B}$ adalah...

Pembahasannya :

Jelas dengan teorema vieta kita peroleh sebagai berikut,

$b_1+b_2+\cdots +b_7=0$

$b_1b_2+b_1b_3+\cdots +b_6b_7=0$

$b_1b_2b_3+b_1b_2b_4+\cdots +b_5b_6b_7=0$

$b_1b_2b_3b_4+\cdots +b_4b_5b_6b_7=0$

$b_1b_2b_3b_4b_5+\cdots +b_3b_4b_5b_6b_7=0$

$b_1b_2b_3b_4b_5b_6+\cdots +b_2b_3b_4b_5b_6b_7=0$

$b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7=7$

Oke pertama kita akan mencoba-coba untuk mencari nilai dari

$(b_1+b_2)(b_1+b_3)(b_1+b_4)(b_1+b_5)(b_1+b_6)(b_1+b_7)$

yang kalau kita bongkar diperoleh

$b_1^6+b_1^5(b_2+\cdots +b_7)+b_1^4(b_2b_3+\cdots +b_6b_7)+\\ b_1^3(b_2b_3b_4+\cdots +b_5b_6b_7)+b_1^2(b_2b_3b_4b_5+\cdots +b_4b_5b_6b_7)+\\ b_1(b_2b_3b_4b_5b_6+\cdots +b_3b_4b_5b_6b_7)+b_2b_3b_4b_5b_6b_7$

$=b_1^6+b_1^5(-b_1)+b_1^4(b_2b_3+\cdots +b_6b_7)+\\ b_1^3(-b_1(b_2b_3+\cdots +b_6b_7))+b_1^2(b_2b_3b_4b_5+\cdots +b_4b_5b_6b_7)+\\ b_1(-b_1(b_2b_3b_4b_5+\cdots +b_4b_5b_6b_7))+b_2b_3b_4b_5b_6b_7$

$=b_2b_3b_4b_5b_6b_7$

$=\frac{7}{b_1}$

Lakukan hal serupa untuk mencari 

$(b_2+b_1)(b_2+b_3)(b_2+b_4)(b_2+b_5)(b_2+b_6)(b_2+b_7)$

Maka $b_1$ ditukar dengan $b_2$

Hasilnya adalah $\frac{7}{b_2}$

Begitu pula seterusnya didapat hasil $\frac{7}{b_3}$, $\frac{7}{b_4}$, $\frac{7}{b_5}$, $\frac{7}{b_6}$, dan $\frac{7}{b_7}$

Perhatikan nilai dari $B^2$ yang tidak lain adalah perkalian dari hasil hasil yang kita dapatkan tadi, yaitu $B^2=\frac{7^7}{b_1b_2b_3\cdots b_7}$.

Sehingga $B=\sqrt{\frac{7^7}{b_1b_2b_3\cdots b_7}}=\sqrt{\frac{7^7}{7}}=7^3$

Jadi nilai dari $\sqrt[3]{B}$ adalah $7$

Dan kita selesai.....

Oke semoga pembahasan nya bermanfaat.. 

Jangan bosan-bosan buat mampir ya guyss....

Sampai berjumpa lagi di pembahasan berikutnya....