Garis Tinggi, Garis Berat, Garis Bagi dan Garis Sumbu Pada Segitiga

Hello sobat... Tahukah kalian bahwa terdapat garis garis istimewa pada suatu segitiga, dan pada blog ini akan dijelaskan tentang garis tinggi segitiga, garis berat segitiga, garis bagi segitiga, dan garis sumbu segitiga. Yang tentunya juga hal ini juga sering menjadi suatu problem di dalam olimpiade matematika. Baiklah sobat kita langsung saja melihat pembahasannya.

Garis Tinggi (Altitude)

Definisi Garis Tinggi suatu segitiga yaitu garis yang melalui titik sudut suatu segitiga dan tegak lurus dengan sisi yang dihadapannya.

Teorema Garis Tinggi suatu segitiga : Misalkan $AA',BB',CC'$ menyatakan garis tinggi segitiga $ABC$, maka garis garis tinggi tersebut $AA',BB',CC'$ konkuren (bertemu di satu titik).

Buktinya :

Kasus untuk $ABC$ merupakan segitiga siku siku sangat jelas dan tidak perlu dibuktikan. Jadi, kita cukup menunjukkannya untuk kasus $ABC$ bukan merupakan segitiga siku siku.

Mari kita buktikan teorema tersebut untuk kasus $ABC$ merupakan segitiga lancip. Kita punya

$\frac{AA'}{BA'}=\tan\ B$

$\frac{AA'}{CA'}=\tan\ C$

Maka kita dapatkan 

$\frac{CA'}{BA'}=\frac{\tan\ B}{\tan\ C}$

Dengan cara serupa kita dapatkan juga

$\frac{AB'}{CB'}=\frac{\tan\ C}{\tan\ A}$

$\frac{BC'}{AC'}=\frac{\tan\ A}{\tan\ B}$

Akibatnya,

$\frac{CA'}{BA'}.\frac{AB'}{CB'}.\frac{BC'}{AC'}=\frac{\tan\ B}{\tan\ C}.\frac{\tan\ C}{\tan\ A}.\frac{\tan\ A}{\tan\ B}=1$

Menurut dalil de ceva, $AA',BB',CC'$ konkuren.

Kemudian, akan dibuktikan untuk kasus segitiga $ABC$ tumpul. Tanpa mengurangi keumuman soal, misalkan $90 <\angle C < 180$. Kita punya

$\frac{AA'}{BA'}=\tan\ B$

$\frac{AA'}{CA'}=\tan\ (180^{\circ}-C)=-\tan\ C$

Kita juga punya

$\frac{BB'}{CB'}=\tan\ (180^{\circ}-C)=-\tan\ C$

$\frac{BB'}{AB'}=\tan\ A$

$\frac{CC'}{AC'}=\tan\ A$

$\frac{CC'}{BC'}=\tan\ B$

Maka dari itu kita dapatkan

$\begin{align}\frac{CA'}{BA'}.\frac{AB'}{CB'}.\frac{BC'}{AC'}\\ =\frac{\tan\ B}{-\tan\ C}.\left(\frac{-\tan\ C}{\tan\ A}\right).\frac{\tan\ A}{\tan\ B}\\ =1\end{align}$

(Terbukti)

Titik potong dari garis garis tinggi segitiga tersebut dinamakan titik tinggi atau orthocenter. Kita juga bisa menghitung dengan menggunakan teorema stewart dan atau teorema phytagoras untuk mencari nilainya

Garis Berat (Median)

Definisi Garis Berat suatu segitiga yaitu garis yang melalui titik sudut suatu segitiga dan membagi sisi dihadapan sudut tersebut sama panjang atau dengan kata lain melalui titik tengah sisi tersebut. Maka dari itu setiap segitiga itu pasti punya garis berat.

Teroema Garis Berat suatu segitiga : Jika $ABC$ suatu segitiga dan $A',B',C'$ berturut turut menyatakan titik tengah sisi sisi $BC,AC,AB$, maka garis garis berat tersebut $AA',BB',CC'$ konkuren (bertemu di satu titik).

Dengan mudah hal tersebut bisa kita buktikan dengan menggunakan dalil de ceva. Titik potong tersebut disebut dengan titik berat suatu segitiga. Karena garis garis berat tersebut bertemu disatu titik artinya garis garis tersebut membagi segitiga menjadi enam bagian. Dimana setiap garis berat membagi garis berat lainnya menjadi dua bagian. Didapatkan teorema berikut ini.

Teroema Garis Berat suatu segitiga : Misalkan $AA',BB',CC'$ adalah tiga garis berat segitiga $ABC$ yang berpotongan di titik berat $I$ Maka segitiga $AIB',AIC',BIA',BIC',CIA',CIB'$ memiliki luas yang sama.
Buktinya :

Karena $A',B',C'$ berturut turut berada pada tengah sisi $BC,AC,AB$. Kita punya bahwa $Luas \triangle BIA'=Luas \triangle CIA'$, $Luas \triangle CIB'=Luas \triangle AIB'$, dan $Luas \triangle AIC'=Luas \triangle BIC'$.
Kita juga punya $Luas \triangle ABA'=Luas \triangle ACA'$. sehingga
$\begin{align}2 Luas& \triangle AIC'=Luas \triangle AIB\\ &=Luas \triangle ABA'-Luas \triangle BIA'\\ &=Luas \triangle ACA'-Luas \triangle CIA'\\ &=Luas \triangle AIC\\ &=2 Luas \triangle AIB' \end{align}$
sehingga $Luas \triangle AIC'=Luas \triangle AIB'$. Dengan cara yang sama diperoleh $Luas \triangle BIC'=Luas \triangle BIA'$. dan kesimpulannya keenam segitiga memiliki luasan yang sama.

Teorema Garis Berat suatu segitiga : Misalkan $AA',BB',CC'$ adalah tiga garis berat segitiga $ABC$ yang berpotongan di titik berat $I$. Maka

$\begin{align}\frac{AI}{IA'}=\frac{BI}{IB'}=\frac{CI}{IC'}=2\end{align}$

Coba kalian buktikan!!!

Garis Bagi Sudut (Bisector)

Definisi Garis Bagi Sudut suatu segitiga yaitu garis yang membagi sudut suatu segitiga menjadi dua bagian yang sama besar. Di dalam suatu segitiga ada yang dinamakan garis bagi dalam sudut segitiga dan garis bagi luar sudut segitiga. Garis bagi dalam sudut segitiga yaitu membagi sudut segitiga tersebut sehingga garis ini berada di dalam segitiga, sedangkan garis bagi luar segitiga itu membagi sudut luar segitiga atau sudut berpelurus dari sudut segitiga sehingga garis ini berada di luar segitiga tersebut.

Teorema Garis Bagi Sudut suatu segitiga : Misalkan $AA',BB',CC'$ adalah garis garis bagi sudut $\triangle ABC$. Maka

$\frac{A'B}{A'C}=\frac{c}{b},\frac{B'C}{B'A}=\frac{a}{c},\frac{C'A}{C'B}=\frac{b}{a}$

Silahkan dibuktikan!!!

Teorema Garis Bagi Sudut suatu segitiga : Misalkan $AA',BB',CC'$ menyatakan garis garis bagi sudut segitiga $ABC$, maka garis garis bagi tersebut $AA',BB',CC'$ konkuren (bertemu di satu titik).

Silahkan dibuktikan!!!

Titik perpotongan antara garis bagi disebut titik bagi segitiga. Dan juga merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut,

Garis Sumbu (Perpendicular Bisector)

Nahh juga tak kalah pentingnya nihh yaitu Garis Sumbu suatu segitiga. Definisi Garis Sumbu suatu segitiga yaitu perpaduan antara garis berat dan garis tinggi yakni seperti berikut. Garis Sumbu suatu segitiga adalah garis yang tegak lurus sisi segitiga sekaligus melalui titik tengah sisi tersebut, garis sumbu ini tidak harus melewati sudut suatu segitiga.

Teorema Garis Sumbu suatu segitiga : Misalkan $I_A,I_B,I_C$ adalah garis garis sumbu segitiga $ABC$ maka $I_A,I_B,I_C$ konkuren.

Silahkan Dibuktikan!!!

Titik perpotongan antara garis sumbu disebut titik sumbu segitiga.  Perhatikan bahwa jika sebarang titik dipilih pada garis sumbu segitiga maka titik tersebut berjarak sama terhadap titik pangkal dari sisi yang tegak lurus dengan garis sumbut tersebut. Dengan begitu titik sumbu segitiga juga merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga tersebut,