Pertidaksamaan Nilai Mutlak

 Di postingan sebelumnya sudah kita bahas konsep nilai mutlak, dan bagaimana cara menyelesaikan untuk persamaan nilai mutlak. Bagi kalian yang belum bisa terlebih dahulu mampir ke postingan sebelumnya.

Oke untuk pertidaksamaan nilai mutlak terdapat berbagai macam bentuknya.

1. Bentuk pertama : $|f(x)|<p$ atau $|f(x)|\leq p$ atau $|f(x)|>p$ atau $|f(x)|\geq p$ dengan $p$ suatu konstanta positif.

Penyelesaiannya yaitu :

-) Jika $|f(x)|<p$ maka $-p<f(x)<p$

-) Jika $|f(x)|\leq p$ maka $-p\leq f(x)\leq p$

-) Jika $|f(x)|>p$ maka $f(x)< -p$ atau $f(x)>p$

-) Jika $|f(x)|\geq p$ maka $f(x)\leq -p$ atau $f(x)\geq p$

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari $|x-2|<3$

Jawab : $|x-2|<3$

$-3<x-2<3$

$-3+2<x-2+2<3+2$

$-1<x<5$

Hp = $\{x|-1<x<5; x\in D\}$

Tentukan himpunan penyelesaian dari $|x+3|\geq 5$

Jawab : $|x+3|\geq 5$

$x+3\leq -5$ atau $x+3\geq 5$

$x\leq -5-3$ atau $x\geq 5-3$

$x\leq -8$ atau $x\geq 2$

Hp = $\{x|x\leq -8\text{ atau }x\geq 2; x\in D\}$

2. Bentuk kedua : $|f(x)|<|g(x)|$ atau $|f(x)|\leq |g(x)|$ atau $|f(x)|>|g(x)|$ atau $|f(x)|\geq |g(x)|$.

Dapat kita selesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas atau juga dapat diselesaikan yaitu

-) Jika $|f(x)|<|g(x)|$ maka $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))<0$

-) Jika $|f(x)|\leq |g(x)|$ maka $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\leq 0$

-) Jika $|f(x)|>|g(x)|$ maka $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))>0$

-) Jika $|f(x)|\geq |g(x)|$ maka $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\geq 0$

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari $|x-1|>|x+3|$

Jawab : Dengan mengkuadratkan kedua ruas dan menjabarkannya diperoleh $(x-1)^2>(x+3)^2$

$x^2-2x+1>x^2+6x+9$

$x^2-x^2-2x-6x+1-9>0$

$-8x-8>0$

$-8x>8$

$x<\frac{8}{-8}$

$x<-1$

Hp = $\{x|x<-1; x\in D\}$

Tentukan himpunan penyelesaian dari $|2x-1|\leq|x+3|$

Jawab : Dengan mengkuadratkan kedua ruas dan menjabarkannya diperoleh $(2x-1)^2\leq (x+3)^2$

$4x^2-4x+1\leq x^2+6x+9$

$4x^2-x^2-4x-6x+1-9\leq 0$

$3x^2-10x-8\leq 0$

$(3x+2)(x-4)\leq 0$

$-\frac{2}{3}\leq x\leq 4$

Hp = $\{x|-\frac{2}{3}\leq x\leq 4; x\in D\}$

(Note : Jika kita tidak mengkuadratkan, yaitu dengan menggunakan rumus diatas kita bisa lebih cepat beberapa step)

3. Bentuk ketiga : $|f(x)|<g(x)$ atau $|f(x)|\leq g(x)$ atau $|f(x)|>g(x)$ atau $|f(x)|\geq g(x)$.

Untuk penyelesaian dari bentuk tersebut adalah sebagai berikut.

-) Untuk kasus dimana $|f(x)|<g(x)$ atau $|f(x)|\leq g(x)$ maka

• $g(x)\geq 0$
• Kedua ruas dikuadratkan
• Kemudian diambil irisan keduanya

-) Untuk kasus dimana $|f(x)|>g(x)$ atau $|f(x)|\geq g(x)$ maka dapat diselesaikan dengan menggunakan definisi nilai mutlak.

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari $|x-1|<x+3$

Jawab : Syarat pertama $x+3\geq 0$ atau $x\geq -3$. Dengan mengkuadratkan kedua ruas dan menjabarkannya diperoleh $(x-1)^2<(x+3)^2$

$x^2-2x+1<x^2+6x+9$

$x^2-x^2-2x-6x+1-9<0$

$-8x-8<0$

$-8x<8$

$x>\frac{8}{-8}$

$x>-1$

Maka diperoleh irisan keduanya yaitu $x>-1$

Hp = $\{x|x>-1; x\in D\}$

Tentukan himpunan penyelesaian dari $|2x-3|> 2x+1$

Jawab : Untuk $x\geq \frac{3}{2}$ maka pertidaksamaan tersebut menjadi $2x-3> 2x+1$

$-3>1$ (Tidak benar)

Jadi untuk kasus $x\geq \frac{3}{2}$ tidak ada penyelesaian.

Kemudian untuk $x< \frac{3}{2}$ maka pertidaksamaan tersebut menjadi $-2x+3> 2x+1$

$-4x>-2$

$x<\frac{-2}{-4}$

$x<\frac{1}{2}$

Irisan dari keduanya diperoleh $x<\frac{1}{2}$

Hp = $\{x|x<\frac{1}{2}; x\in D\}$