Teorema Menelaus dan Pembuktiannya

Oke guys pada postingan kita kali ini akan membahas sedikit terkait Teorema yang cukup penting dalam segitiga dan biasanya sering muncul dalam olimpiade yaitu teorema menelaus.

Definisi : Jika melalui segitiga $ABC$ ditarik suatu garis yang memotong sisi $AB,BC,AC$ berturut turut pada titik $D,E,F$ maka hasil kali yaitu $AD\times BE\times CF$ sama dengan hasil kali $BD\times CE\times AF$.

Teorema Menelaus menyatakan bahwa jika suatu garis yang memotong $\triangle ABC$ atau memotong sisi $AB,BC,AC$ berturut turut pada titik $D,E,F$ maka persamaan berikut berlaku $\frac{AD}{DB}\times\frac{BE}{EC}\times\frac{CF}{FA}=1$

Bukti Teorema Menelaus :

Tarik garis $AA',BB',CC'$ sehingga ketiganya tegak lurus dengan garis yang memotong segitiga $ABC$ tersebut. Perhatikan bahwa $\triangle AA'F$ dan $\triangle CC'F$ sebangun. Maka dengan kesebangunan diperoleh

$\begin{align}\frac{AF}{CF}=\frac{AA'}{CC'}\end{align}$

Begitu juga dengan $\triangle CC'E$ dan $\triangle BB'E$ sebangun. Maka dengan kesebangunan diperoleh

$\begin{align}\frac{CE}{BE}=\frac{CC'}{BB'}\end{align}$

Kemudian perhatikan juga $\triangle BB'D$ dan $\triangle AA'D$ juga sebangun. Maka dengan kesebangunan diperoleh

$\begin{align}\frac{BD}{AD}=\frac{BB'}{AA'}\end{align}$

Dengan mengalikan ketiga persamaan diatas diperoleh

$\begin{align}\frac{AF}{CF}\times\frac{CE}{BE}\times\frac{BD}{AD}=1\end{align}$

Yang ekivalen dengan

$\begin{align}\frac{AD}{DB}\times\frac{BE}{EC}\times\frac{CF}{FA}=1\end{align}$

Terbukti.