Pembahasan Soal UAS Geometri 2020

Assalamu'alaikum teman teman semua, mohon maaf nih blognya baru update lagi, oh ya gimana kabarnya??? syukur alhamdulillah deh kalau kalian baik baik saja. Oh ya cuma ngasih tahu nih... kemarin kemarin gak update artikel karena lagi fokus ujian akhir atau UAS. Dan syukur alhamdulillah sekarang bisa update lagi karena UAS nya sudah selesai. Kali ini kita akan membahas soal Geometri di UAS kemarin. Yukk... disimak pembahasannya.

1. Selfi mengatakan bahwa jika dua ruas garis yang kongruen berpotongan di titik tengahnya, maka segiempat yang dibentuk dengan menghubungkan titik-titik akhir dari ruas garis tersebut secara berurutan adalah sebuah persegi panjang. Apakah Anda setuju dengan Selfi? Jelaskan mengapa ya atau mengapa tidak. (Petunjuk: Buat pemisalan nama segiempat dengan 4 huruf berbeda dari bagian dari nama Anda) (Skor 15)
Pembahasan : Setuju.

Misalkan dibuat segiempat $HASB$ dengan $AB=HS$. Misalkan titik $I$ adalah pertengahan $AB$ sekaligus juga pertengahan $HS$ maka $HI=AI=SI=BI$ sehingga $\triangle HAI$ dan $\triangle ASI$ merupakan segitiga sama kaki. Khususnya berlaku $\angle IHA=\angle IAH$ dan $\angle IAS=\angle ISA$. Perhatikan pada $\triangle HAS$ berlaku
$\begin{align*}\angle IHA+\angle IAH+\angle IAS+\angle ISA&=180^{\circ}\\ 2\angle IAH+2\angle IAS&=180^{\circ}\\ \angle IAH+\angle IAS&=90^{\circ}\\ \angle HAS&=90^{\circ}\end{align*}$
Lakukan hal serupa terhadap $\triangle ASB,\triangle SBH, \text{dan}\ \triangle BHA$ maka didapat pula $\angle ASB=\angle SBH=\angle BHA=90^{\circ}$.
Maka dari itu segiempat yang terbentuk adalah persegi panjang.
2. $\triangle XYZ$ adalah segitiga siku-siku di $\angle X$ dan $\overline{XS}$ adalah salah satu garis tinggi $\triangle XYZ$ Gunakan konsep kesebangunan segitiga untuk membuktikan bahwa kuadrat panjang sisi hipotenusa $\triangle XYZ$ sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi siku-sikunya. (Skor 25)
Pembahasan :

Perhatikan bahwa $\angle YXS=90^{\circ}-\angle SYX=\angle XZY$ dan $\angle ZXS=90^{\circ}-\angle SZX=\angle XYZ$. Oleh karenanya $\triangle XYZ, \triangle SYX, \triangle SXY$ ketiganya sebangun, sehingga dengan kesebangunan pada $\triangle XYZ$ dan $\triangle SYX$ berlaku
$\begin{align*}\frac{XY}{ZY}&=\frac{SY}{XY}\\ XY^2&=SY\times ZY\end{align*}$
Kemudian pada $\triangle XYZ$ dan $\triangle SXZ$ berlaku
$\begin{align*}\frac{XZ}{YZ}&=\frac{SZ}{XZ}\\ XZ^2&=SZ\times YZ\end{align*}$
Jumlahkan kedua persamaan diatas didapat $XY^2+XZ^2=YZ(SY+SZ)=YZ^2$. Sehingga terbukti bahwa kuadrat panjang sisi hipotenusa $\triangle XYZ$ sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi siku-sikunya.
3. Perhatikan gambar berikut.

Garis $\overleftrightarrow{PQ}$ dan $\overleftrightarrow{PR}$ adalah garis singgung pada lingkaran $O$.
a. Buktikan bahwa $\angle PQR\cong\angle PRQ$ (Skor 10)
b. Gambar $\overleftrightarrow{OP}$ yang memotong $\overleftrightarrow{RQ}$ pada $S$ lalu buktikan bahwa $QS=RS$ dan $\overleftrightarrow{OP}\perp\overleftrightarrow{QR}$ (Skor 15)
c. Jika $OP=10, SQ=4$ dan $OS<SP$, tentukan panjang $OS$ dan $SP$ (Skor 10)
Pembahasan : a. Bukti :

Karena $\overleftrightarrow{PQ}$ dan $\overleftrightarrow{PR}$ merupakan garis singgung lingkaran maka $\angle ORP=\angle OQP=90^{\circ}$. Kemudian perhatikan $\triangle POQ$ dan $\triangle POR$ kongruen ( karena $PO=PO, OQ=OR, \angle OQP=\angle ORP$). Jadi, $PQ=PR$ dengan begitu $\triangle PQR$ adalah segitiga sama kaki dan $\angle PQR\cong\angle PRQ$ (Terbukti).
b. Diketahui $OP$ dan $RQ$ berpotongan di $S$.
Akan dibuktikan $QS=RS$ dan $\overleftrightarrow{OP}\perp\overleftrightarrow{QR}$.
Buktinya :

Dari pembuktian sebelumnya kita tahu bahwa $\triangle POQ$ dan $\triangle POR$ kongruen maka dari itu $\angle QOP=\angle ROP$ yang ekivalen dengan $\angle QOS=\angle ROS$. Oleh karena itu, $OS$ merupakan garis bagi segitiga $QOR$. Padahal $\triangle QOR$ adalah segitiga sama kaki yaitu $OQ=OR$. Jadi, $OS$ juga merupakan garis berat dan sekaligus garis tinggi pada $\triangle QOR$. Sehingga $QS=RS$ dan $OS\perp QR$, karena $O,S,P$ kolinear maka $OP\perp QR$. Jadi sudah dibuktikan bahwa $QS=RS$ dan $\overleftrightarrow{OP}\perp\overleftrightarrow{QR}$.
c.

Perhatikan $\triangle OSQ$ dan $\triangle QSP$ sebangun (karena $\angle OSQ=\angle QSP, \angle SQO=\angle SPQ, \angle QOS=\angle PQS$). Maka dari itu dengan menggunakan kesebangunan diperoleh
$\begin{align*}\frac{QS}{OS}&=\frac{PS}{QS}\\ QS^2&=PS\times OS\\ 4^2&=PS\times (OP-PS)\\ 16&=PS(10-PS)\\ PS^2-10PS+16&=0\\ (PS-2)(PS-8)&=0\end{align*}$
Karena $SP>OS$ maka $SP=8$ dan $OS=2$
4. Prisma tegak segienam $ABCDEF.GHIJKL$ terdapat titik $M,N, \text{dan}\ O$ berturut-turut pada $AG,FL,\text{dan}\ CL$ seperti yang ditunjukkan gambar. Gambarlah penampang bidang iris yang melalui titik $M, N, O$ pada prisma tersebut. (Skor 25)

Pembahasan :
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Perpanjang $FA$ dan $CB$ sehingga berpotongan di $P$

2. Perpanjang $LG$ dan $IH$ sehingga berpotongan di $Q$
3. Hubungkan $P$ dan $Q$
4. Perpanjang $BC$ dan $ED$ sehingga berpotongan di $R$
5. Perpanjang $HI$ dan $KJ$ sehingga berpotongan di $S$
6. Hubungkan $R$ dan $S$
7. Perpanjang $AF$ dan $DE$ sehingga berpotongan di $T$
8. Perpanjang $GL$ dan $JK$ sehingga berpotongan di $U$
9. Hubungkan $T$ dan $U$

10. Tarik garis melalui $M,N$ sehingga memotong $PQ$ dan $TU$ berturut turut di $V$ dan $W$
11. Tarik garis melalui $V,O$ sehingga memotong $BH$ dan $RS$ berturut turut di $X$ dan $Y$
12. Tarik garis melalui $W,Y$ sehingga memotong $EK$ dan $DJ$ berturut turut di $Z$ dan $Z'$

13. Hubungkan $M,N,Z,Z',O,X,M$ maka $MNZZ'OX$ adalah bidang penampang yang diminta soal.