Pembahasan Geometri Analitik Bab 2

 Berikut adalah pembahasan latihan soal Geometri Analitik

Latihan 1 (Menentukan besar sudut yang terbentuk antara dua garis lurus, persamaan melalui satu titik dan diketahui gradiennya)

1. Diketahui : garis garis $l$ dan $k$ dengan persamaan :

     $l\equiv 2x-2y-3=0$

     $k\equiv y-2x-1=0$

   Tentukan :

     a. Sudut yang dibentuk garis $l$ dengan sumbu $x$ dan garis $k$ dengan sumbu $x$

     b. Sudut yang dibentuk garis $l$ dan $k$

Pembahasan : a. Misal $\alpha$ dan $\beta$ berturut turut merupakan sudut yang dibentuk garis $l$ dengan sumbu $x$ dan garis $k$ dengan sumbu $x$. Maka $\tan \alpha=m_l=1$. Jadi, $\alpha =45^{\circ}$. Dan juga $\tan \beta=m_k=2$. Jadi $\beta =63,43^{\circ}$

     b. Misal $\gamma$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $l$ dan $k$. Maka $\tan \gamma=\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha.\tan \beta}$. Karena sudutnya yang diambil adalah sudut lancip maka nilai $\tan \gamma$ haruslah positif, sehingga

$\tan \gamma=\frac{2-1}{1+2.1}=\frac{1}{3}$. Jadi, $\gamma =18,43^{\circ}$

2. Diketahui garis $g_1$ dan garis $g_2$ dengan persamaan berikut

     $g_1\equiv x-2y-4=0$

     $g_2\equiv y=2x+3$

Tentukan :

     a. Persamaan garis yang melalui pusat salib sumbu O dan sejajar garis $g_1$

     b. Persamaan garis yang melalui pusat salib sumbu O dan tegak lurus garis $g_2$

     c. Persamaan garis yang melalui titik potong $g_1$ dan $g_2$ dan tegak lurus garis $g_1$

Pembahasan : a. Karena sejajar garis $g_1$ maka $m=m_{g_1}=\frac{1}{2}$. Dan melalui titik pusat $O(0,0)$. Bentuk persamaan garisnya yaitu $y-y_1=m(x-x_1)$. Substitusi nilainya sehingga didapat persamaan garisnya adalah $y=\frac{1}{2}x$

     b. Karena tegak lurus garis $g_2$ maka $m=-\frac{1}{m_{g_2}}=-\frac{1}{2}$. Dan melalui titik pusat $O(0,0)$. Bentuk persamaan garisnya yaitu $y-y_1=m(x-x_1)$. Substitusi nilainya sehingga didapat persamaan garisnya adalah $y=-\frac{1}{2}x$

     c. Titik potong $g_1$ dan $g_2$ bisa dicari dengan

$\begin{align*}g_1&\equiv x-2y-4=0\\ g_2&\equiv y=2x+3\end{align*}$

Persamaan pertama dikali $1$ dan persamaan kedua dikali $2$ diperoleh

$\begin{align*}x-2y-4&=0\\ 2y&=4x+6\end{align*}$

Jumlahkan keduanya diperoleh nilai $x=-\frac{10}{3}$, lakukan substitusi sehingga diperoleh nilai $y=-\frac{11}{3}$.

Karena tegak lurus $g_1$ maka $m=-\frac{1}{m_{g_1}}=-2$. Bentuk persamaan garisnya yaitu $y-y_1=m(x-x_1)$. Substitusi nilainya sehingga didapat persamaan garisnya adalah $y-(-\frac{11}{3})=-2(x-(-\frac{10}{3}))$ atau ekivalen dengan $y=-2x-\frac{31}{3}$.

Latihan 2 (Menentukan persamaan yang melalui dua titik)

1. Diketahui : Titik titik $A(5,1)$, $B(3,-5)$, dan $C(2,2)$ membentuk $\triangle ABC$

Tentukan : a. Persamaan sisi segitiga $ABC$

     b. Persamaan ketiga garis berat segitiga $ABC$

     c. Persamaan ketiga garis tinggi segitiga $ABC$

Pembahasan : a. Persamaan sisi $AB$ dapat dihitung sebagai berikut.

$\begin{align*}\frac{y-y_A}{y_B-y_A}&=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}\\ \frac{y-1}{-5-1}&=\frac{x-5}{3-5}\\ -2y+2&=-6x+30\\ y&=3x-14\end{align*}$

Begitu juga dengan sisi $BC$

$\begin{align*}\frac{y-y_B}{y_C-y_B}&=\frac{x-x_B}{x_C-x_B}\\ \frac{y-(-5)}{2-(-5)}&=\frac{x-3}{2-3}\\ -y-5&=7x-21\\ y&=-7x+16\end{align*}$

dan juga dan persamaan sisi $AC$

$\begin{align*}\frac{y-y_A}{y_C-y_A}&=\frac{x-x_A}{x_C-x_A}\\ \frac{y-1}{2-1}&=\frac{x-5}{2-5}\\ -3y+3&=x-5\\ y&=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\end{align*}$

     b. Kita tahu bahwa untuk mencari koordinat titik tengah dari titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$. Dengan begitu bisa diperoleh titik tengah titik $BC$, $AC$, dan $AB$ berturut turut yaitu $D(\frac{5}{2},-\frac{3}{2})$, $E(\frac{7}{2},\frac{3}{2})$, $F(4,-2)$. Maka persamaan ketiga garis berat dapat dihitung sebagai berikut.

Persamaan garis berat $AD$

$\begin{align*}\frac{y-y_A}{y_D-y_A}&=\frac{x-x_A}{x_D-x_A}\\ \frac{y-1}{-\frac{3}{2}-1}&=\frac{x-5}{\frac{5}{2}-5}\\ y&=x-4\end{align*}$

Begitu juga dengan garis berat $BE$

$\begin{align*}\frac{y-y_B}{y_E-y_B}&=\frac{x-x_B}{x_E-x_B}\\ \frac{y-(-5)}{\frac{3}{2}-(-5)}&=\frac{x-3}{\frac{7}{2}-3}\\ y&=13x-44\end{align*}$

dan juga dan persamaan garis berat $CF$

$\begin{align*}\frac{y-y_C}{y_F-y_C}&=\frac{x-x_C}{x_F-x_C}\\ \frac{y-2}{-2-2}&=\frac{x-2}{4-2}\\ y&=-2x+6\end{align*}$

     c. Misalkan berturut turut $t_A, t_B, t_C$ menyatakan tinggi segitiga $ABC$ dari titik sudut $A,B,C$. Perhatikan bahwa $m_{t_A}=-\frac{1}{m_{BC}}$, $m_{t_B}=-\frac{1}{m_{AC}}$, $m_{t_C}=-\frac{1}{m_{AB}}$. Sedangkan diperoleh bahwa,

${m_{BC}}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{2-(-5)}{2-3}=-7$

${m_{AC}}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{2-1}{2-5}=-\frac{1}{3}$

${m_{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-5-1}{3-5}=3$

Jadi, $m_{t_A}=\frac{1}{7}$, $m_{t_B}=3$, $m_{t_C}=-\frac{1}{3}$.

Kemudian dicari persamaan ketiga garis tingginya yaitu

Persamaan garis tinggi dari $A$

$y-y_A=m_{t_A}(x-x_A)$

$y-1=\frac{1}{7}(x-5)$

$y=\frac{1}{7}x+\frac{2}{7}$

Persamaan garis tinggi dari $B$

$y-y_B=m_{t_B}(x-x_B)$

$y-(-5)=3(x-3)$

$y=3x-14$

Persamaan garis tinggi dari $C$

$y-y_C=m_{t_C}(x-x_C)$

$y-2=-\frac{1}{3}(x-2)$

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$

2. Diketahui : Titik titik $P(0,1)$, $Q(-3,5)$, dan $R(2,2)$ membentuk $\triangle PQR$

Tentukan : a. Persamaan sisi segitiga $PQR$

     b. Persamaan ketiga garis berat segitiga $PQR$

     c. Persamaan ketiga garis tinggi segitiga $PQR$

Pembahasan : a. Persamaan sisi $PQ$ dapat dihitung sebagai berikut.

$\begin{align*}\frac{y-y_P}{y_Q-y_P}&=\frac{x-x_P}{x_Q-x_P}\\ \frac{y-1}{5-1}&=\frac{x-0}{-3-0}\\ -3y+3&=4x\\ y&=-\frac{4}{3}x+1\end{align*}$

Begitu juga dengan sisi $QR$

$\begin{align*}\frac{y-y_Q}{y_R-y_Q}&=\frac{x-x_Q}{x_R-x_Q}\\ \frac{y-5}{2-5}&=\frac{x-(-3)}{2-(-3)}\\ y&=-\frac{3}{5}x+\frac{16}{5}\end{align*}$

dan juga dan persamaan sisi $PR$

$\begin{align*}\frac{y-y_P}{y_R-y_P}&=\frac{x-x_P}{x_R-x_P}\\ \frac{y-1}{2-1}&=\frac{x-0}{2-0}\\ y&=\frac{1}{2}x+1\end{align*}$

     b. Kita tahu bahwa untuk mencari koordinat titik tengah dari titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$. Dengan begitu bisa diperoleh titik tengah titik $QR$, $PR$, dan $PQ$ berturut turut yaitu $S(-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$, $T(1,\frac{3}{2})$, $U(\frac{3}{2},3)$. Maka persamaan ketiga garis berat dapat dihitung sebagai berikut.

Persamaan garis berat $PS$

$\begin{align*}\frac{y-y_P}{y_S-y_P}&=\frac{x-x_P}{x_S-x_P}\\ \frac{y-1}{\frac{7}{2}-1}&=\frac{x-0}{-\frac{1}{2}-0}\\ y&=-5x+1\end{align*}$

Begitu juga dengan garis berat $QT$

$\begin{align*}\frac{y-y_Q}{y_T-y_Q}&=\frac{x-x_Q}{x_T-x_Q}\\ \frac{y-5}{\frac{3}{2}-5}&=\frac{x-(-3)}{1-(-3)}\\ y&=-\frac{7}{8}x+\frac{19}{8}\end{align*}$

dan juga dan persamaan garis berat $RU$

$\begin{align*}\frac{y-y_R}{y_U-y_R}&=\frac{x-x_R}{x_U-x_R}\\ \frac{y-2}{3-2}&=\frac{x-2}{-\frac{3}{2}-2}\\ y&=-\frac{2}{7}x+\frac{18}{7}\end{align*}$

     c. Misalkan berturut turut $t_P, t_Q, t_R$ menyatakan tinggi segitiga $ABC$ dari titik sudut $P,Q,R$. Perhatikan bahwa $m_{t_P}=-\frac{1}{m_{QR}}$, $m_{t_Q}=-\frac{1}{m_{PR}}$, $m_{t_R}=-\frac{1}{m_{PQ}}$. Sedangkan diperoleh bahwa,

${m_{QR}}=\frac{y_R-y_Q}{x_R-x_Q}=-\frac{3}{5}$

${m_{PR}}=\frac{y_R-y_P}{x_R-x_P}=\frac{1}{2}$

${m_{PQ}}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=-\frac{4}{3}$

Jadi, $m_{t_P}=\frac{5}{3}$, $m_{t_Q}=-2$, $m_{t_R}=\frac{3}{4}$.

Kemudian dicari persamaan ketiga garis tingginya yaitu

Persamaan garis tinggi dari $P$

$y-y_P=m_{t_P}(x-x_P)$

$y-1=\frac{5}{3}(x-0)$

$y=\frac{5}{3}x+1$

Persamaan garis tinggi dari $Q$

$y-y_Q=m_{t_Q}(x-x_Q)$

$y-5=-2(x-(-3))$

$y=-2x-1$

Persamaan garis tinggi dari $R$

$y-y_R=m_{t_R}(x-x_R)$

$y-2=\frac{3}{4}(x-2)$

$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$

Latihan 3 (Menentukan jarak titik ke persamaan garis)

1. Diketahui titik $A(5,1)$, $B(3,-5)$, dan $C(2,2)$ membentuk $\triangle ABC$.

Tentukan : a. Jarak titik O ke sisi sisi $\triangle ABC$

     b. Luas $\triangle ABC$

Pembahasan : a. Seperti yang telah dikerjakan di Latihan 2 diatas, didapat persamaan sisi $AB$ adalah $y=3x-14$. Persamaan sisi $BC$ adalah $y=-7x+16$ dan persamaan sisi $AC$ adalah $y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$. Untuk mencari jarak titik $P$ ke persamaan garis $g\equiv ax+by+c=0$ adalah $d=\left|\frac{ax_p+by_p+c}{\pm \sqrt{a^2+b^2}} \right|$. Maka dapat dihitung :

Jarak dari O ke sisi $AB$ : 

$\begin{align*}d&=\left|\frac{-3.0+1.0+14}{\pm \sqrt{(-3)^2+1^2}} \right|\\ &=\left|\frac{14}{\pm\sqrt{10}}\right|\\ &=\frac{7}{5}\sqrt{10}\end{align*}$

Jarak dari O ke sisi $BC$ : 

$\begin{align*}d&=\left|\frac{7.0+1.0-16}{\pm \sqrt{7^2+1^2}} \right|\\ &=\left|\frac{-16}{\pm\sqrt{50}}\right|\\ &=\frac{8}{5}\sqrt{2}\end{align*}$

Jarak dari O ke sisi $AC$ : 

$\begin{align*}d&=\left|\frac{\frac{1}{3}.0+1.0+14}{\pm \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+1^2}} \right|\\ &=\left|\frac{-\frac{8}{3}}{\pm\frac{1}{3}\sqrt{10}}\right|\\ &=\frac{4}{5}\sqrt{10}\end{align*}$

     b. Jarak $A$ ke $BC$

$\begin{align*}d&=\left|\frac{7.5+1.1-16}{\pm \sqrt{7^2+1^2}} \right|\\ &=\left|\frac{20}{\pm\sqrt{50}}\right|\\ &=2\sqrt{2}\end{align*}$

Panjang $\begin{align*}BC&=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\ &=\sqrt{(2-3)^2+(2-(-5))^2}\\ &=\sqrt{1+49}\\ &=\sqrt{50}\\ &=5\sqrt{2}\end{align*}$

Luas $\triangle ABC=\frac{1}{2}.5\sqrt{2}.2\sqrt{2}=10$

2. Diketahui : $g\equiv 2x-y+3=0$ dan $k\equiv x+3y-2=0$

Tentukan persamaan garis bagi sudut yang dibentuk garis $g$ dan garis $k$

Pembahasan : Pilih sebarang titik pada garis bagi tersebut misal $T(x_T,y_T)$ maka jarak $T$ ke garis $g$ akan sama dengan jarak $T$ ke garis $k$. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

$\begin{align*}\left|\frac{2x_T-y_T+3}{\pm \sqrt{2^2+(-1)^2}} \right|&=\left|\frac{x_T+3y_T-2}{\pm \sqrt{1^2+3^2}} \right|\\ \left|\frac{2x_T-y_T+3}{\pm \sqrt{5}} \right|&=\left|\frac{x_T+3y_T-2}{\pm \sqrt{10}} \right|\\ 2x_T-y_T+3 &=\frac{x_T+3y_T-2}{\pm \sqrt{2}}\end{align*}$

Persamaan 1 : $(2\sqrt{2}-1)x-(\sqrt{2}+3)y+3\sqrt{2}+2=0$

Persamaan 2 : $(2\sqrt{2}+1)x-(\sqrt{2}-3)y+3\sqrt{2}-2=0$

Latihan 4 (Menentukan berkas garis lurus)

1. Segitiga $ABC$ dibentuk oleh $3$ garis $l\equiv 2x-y=0$, $g\equiv 5x+3y-15=0$ dan $k\equiv x+5y-1=0$

     A = titik potong $l$ dan $g$

     B = titik potong $g$ dan $k$

     C = titik potong $l$ dan $k$

a. Carilah persamaan garis tinggi dari titik $A$

b. Tentukan tinggi segitiga $ABC$ dengan alas $AB$

c. Tentukan luas segitiga $ABC$

Pembahasan : a. Persamaan garis yang melalui titik potong $l$ dan $g$ adalah berkas garis $l+\lambda g=0$.

$2x-y+\lambda (5x+3y-15)=0$

$(2+5\lambda)x+(-1+3\lambda)y-15\lambda=0$

Karena tegak lurus $k$ maka $m=-\frac{1}{m_k}=5$. Diperoleh $-\frac{2+5\lambda}{-1+3\lambda}=5$ atau $\lambda =\frac{3}{20}$

Persamaan garis tinggi dari titik A : $-\frac{11}{20}y+\frac{11}{4}x-\frac{9}{4}=0$

     b. Pertama akan dicari koordinat titik $C$

$l\equiv 2x-y=0$

$k\equiv x+5y-1=0$

Persamaan pertama dikali 1 dan persamaan kedua dikali 2 diperoleh

$2x-y=0$

$2x+10y-2=0$

Kurangkan kedua persamaan tersebut didapat $y=\frac{2}{11}$. Substitusi ke persamaan didapat $x=\frac{1}{11}$. Koordinat titik $C$ adalah $\left(\frac{1}{11},\frac{2}{11}\right)$. Kemudian tinggi $\triangle ABC$ dengan alas $AB$ sama halnya dengan mencari jarak titik $C$ ke $AB$ yaitu

$\begin{align*}d&=\left|\frac{5x_C+3y_C-15}{\pm \sqrt{5^2+3^2}} \right|\\ &=\left|\frac{\frac{5}{11}+\frac{6}{11}-15}{\pm\sqrt{34}}\right|\\ &=\left|\frac{-14}{\pm\sqrt{34}}\right|\\ &=\frac{7}{17}\sqrt{34}\end{align*}$

     c. Panjang $\begin{align*}AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(\frac{36}{11}-\frac{15}{11})^2+(-\frac{5}{11}-\frac{30}{11})^2}\\ &=\sqrt{\frac{441}{121}+\frac{1225}{121}}\\ &=\frac{7}{11}\sqrt{34}\end{align*}$

Luas $\triangle ABC=\frac{1}{2}.\frac{7}{11}\sqrt{34}.\frac{7}{17}\sqrt{34}=\frac{49}{11}$

2. Segitiga $PQR$ dibentuk oleh $3$ garis $l\equiv x-y=2$, $g\equiv 2x+3y=10$ dan $k\equiv 3x+y-1=0$

     P = titik potong $l$ dan $g$

     Q = titik potong $g$ dan $k$

     R = titik potong $l$ dan $k$

a. Carilah persamaan garis tinggi dari $R$

b. Tentukan tinggi segitiga $ABC$ dengan alas $PR$

c. Tentukan luas segitiga $PQR$

Pembahasan : a. Persamaan garis yang melalui titik potong $l$ dan $k$ adalah berkas garis $l+\lambda k=0$.

$x-y-2+\lambda (3x+y-1)=0$

$(1+3\lambda)x+(-1+\lambda)y-2-\lambda=0$

Karena tegak lurus $g$ maka $m=-\frac{1}{m_g}=\frac{3}{2}$. Diperoleh $\frac{1+3\lambda}{1-\lambda}=\frac{3}{2}$ atau $\lambda =\frac{1}{9}$

Persamaan garis tinggi dari $R$ : $\frac{4}{3}x-\frac{8}{9}y-\frac{19}{9}=0$

     b. Pertama akan dicari koordinat titik $Q$

$g\equiv 2x+3y=10$

$k\equiv 3x+y-1=0$

Persamaan pertama dikali 1 dan persamaan kedua dikali 3 diperoleh

$2x+3y=0$

$9x+3y-3=0$

Kurangkan kedua persamaan tersebut didapat $x=-1$. Substitusi ke persamaan didapat $y=4$. Koordinat titik $Q$ adalah $(-1,4)$. Kemudian tinggi $\triangle PQR$ dengan alas $PR$ sama halnya dengan mencari jarak titik $Q$ ke $PR$ yaitu

$\begin{align*}d&=\left|\frac{x_Q-y_Q-2}{\pm \sqrt{1^2+(-1)^2}} \right|\\ &=\left|\frac{-1+4-2}{\pm\sqrt{2}}\right|\\ &=\frac{7}{2}\sqrt{2}\end{align*}$

     c. Panjang $\begin{align*}PR&=\sqrt{(x_R-x_P)^2+(y_R-y_P)^2}\\ &=\sqrt{(\frac{3}{4}-\frac{16}{5})^2+(-\frac{5}{4}-\frac{6}{5})^2}\\ &=\sqrt{\frac{2401}{400}+\frac{2401}{400}}\\ &=\frac{49}{20}\sqrt{2}\end{align*}$

Luas $\triangle ABC=\frac{1}{2}.\frac{49}{20}\sqrt{2}.\frac{7}{2}\sqrt{2}=\frac{343}{40}$