Pembahasan Geometri Analitik Bab 1

Hallo semuanya, pada kesempatan ini saya akan membahas latihan soal geometri analitik yang ada di Bab 1 dari buku Geometri Analitik. Berikut adalah pembahasan soal latihan Geometri Analitik.

Latihan 1 (Menyatakan koordinat kutub ke koordinat kartesisus dan sebaliknya)

1. Nyatakanlah letak titik yang dinyatakan dalam koordinat kutub berikut menjadi koordinat kartesius : $A(5,30^{\circ})$,$B(6,45^{\circ})$, dan $C(8,150^{\circ})$

Pembahasan : Dalam koordinat kutub, suatu titik $A(r,\alpha)$. Jika titik $A$ dinyatakan dengan koordinat kartesius maka didapatlah $x_A=r\cos \alpha$ dan $y_A=r\sin \alpha$. Jadi, koordinat $A(5,30^{\circ})$,$B(6,45^{\circ})$, dan $C(8,150^{\circ})$ jika dinyatakan dalam koordinat kartesius adalah $A(5\cos 30^{\circ},5\sin 30^{\circ})=A(\frac{5}{2}\sqrt{3},\frac{5}{2})$, $B(6\cos 45^{\circ},6\sin 45^{\circ})=B(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$, dan $C(8\cos 150^{\circ},8\sin 150^{\circ})=C(-4\sqrt{3},4)$

2. Nyatakanlah letak titik yang dinyatakan dalam koordinat kartesisus berikut menjadi koordinat kutub : $P(3,-4)$, $K(4,5)$, dan $S(-2,5)$

Pembahasan : Sama halnya dengan pembahasan sebelumnya, dalam koordinat kartesisus jika titik $P(x_P,y_P)$ dinyatakan ke dalam koordinat kutub maka didapat $r=\sqrt{x_P^2+y_P^2}$ dan $\alpha =\arctan \left(\frac{y_P}{x_P}\right)$. Jadi, koordinat $P(3,-4)$, $K(4,5)$, dan $S(-2,5)$ jika dinyatakan dalam koordinat kutub adalah $P(\sqrt{3^2+(-4)^2},\arctan \left(\frac{-4}{3}\right))=P(5,-53.13^{\circ})$, $K(\sqrt{4^2+5^2},\arctan \left(\frac{5}{4}\right))=K(\sqrt{41},51.34^{\circ})$, dan $S(\sqrt{(-2)^2+5^2},\arctan \left(\frac{5}{-2}\right))=P(\sqrt{29},-68.2^{\circ})$

Latihan 2 (Menyatakan koordinat tabung dan koordinat bola ke koordinat kartesisus siku siku)

1. Titik $A$ dinyatakan dalam koordinat tabung $A(7,60^{\circ},5)$. Nyatakan letak titik $A$ tersebut dalam koordinat kartesius siku siku.

Pembahasan : Dalam koordinat tabung, suatu titik $A(r,\alpha,z_A)$. Jika titik $A$ tsb dinyatakan dalam koordinat kartesius siku siku maka didapatlah $x_A=r\cos \alpha$, $y_A=r\sin \alpha$, dan $z_A=z_A$. Jadi, didapat $x_A=7\cos 60^{\circ}=\frac{7}{2}$, $y_A=7\sin 60^{\circ}=\frac{7}{2}\sqrt{3}$, dan $z_A=5$. Titik $A$ dinyatakan ke dalam koordinat kartesius siku siku menjadi $A(\frac{7}{2},\frac{7}{2}\sqrt{3},5)$.

2. Titik $B$ dinyatakan dalam koordinat bola $B(6,30^{\circ},45^{\circ})$. Nyatakanlah letak titik $B$ tersebut dalam koordinat kartesius siku siku.

Pembahasan : Dalam koordinat bola, suatu titik $B(R,\alpha,\beta)$. Jika titik $B$ tsb dinyatakan dalam koordinat kartesius siku siku maka didapatlah $x_A=R\cos \alpha.\sin \beta$, $y_A=R\sin \alpha.\sin \beta$, dan $z_A=R\cos \beta$. Jadi, didapat $x_A=6\cos 30^{\circ}.\sin 45^{\circ}=\frac{3}{2}\sqrt{6}$, $y_A=6\sin 30^{\circ}.\sin 45^{\circ}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$, dan $z_A=6\cos 45^{\circ}=3\sqrt{2}$. Titik $A$ dinyatakan ke dalam koordinat kartesius siku siku menjadi $A(\frac{3}{2}\sqrt{6},\frac{3}{2}\sqrt{2},3\sqrt{2})$

Latihan 3 (Menentukan panjang sisi, panjang garis berat, letak titik berat suatu segitiga)

1. Diketahui titik titik $A(2,5)$, $B(-3,2)$, $C(0,3)$ yang membentuk $\triangle ABC$. Tentukan :

   a. Panjang sisi sisi $\triangle ABC$

   b. Panjang ketiga garis berat $\triangle ABC$, dan

   c. Koordinat titik berat $\triangle ABC$

Pembahasan : a. Dengan menggunakan formula mencari jarak antara dua titik maka didapat

$\begin{align*}AB=&\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ =&\sqrt{(-3-2)^2+(2-5)^2}\\ =&\sqrt{34}\end{align*}$

$\begin{align*}BC=&\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\ =&\sqrt{(0-(-3))^2+(3-2)^2}\\ =&\sqrt{10}\end{align*}$

$\begin{align*}AC=&\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\ =&\sqrt{(0-2)^2+(3-5)^2}\\ =&2\sqrt{2}\end{align*}$

   b. Kita tahu bahwa untuk mencari koordinat titik tengah dari titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$. Dengan begitu bisa diperoleh titik tengah titik $AB$, $BC$, $AC$ berturut turut yaitu $D(-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$, $E(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$, $F(1,4)$. Kemudian dengan formula jarak antara dua titik diperoleh panjang garis berat yaitu :

$\begin{align*}CD=&\sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2}\\ =&\sqrt{(-\frac{1}{2}-0)^2+(\frac{7}{2}-3)^2}\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{align*}$

$\begin{align*}AE=&\sqrt{(x_E-x_A)^2+(y_E-y_A)^2}\\ =&\sqrt{(-\frac{3}{2}-2)^2+(\frac{5}{2}-5)^2}\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{74}\end{align*}$

$\begin{align*}BF=&\sqrt{(x_F-x_B)^2+(y_F-y_B)^2}\\ =&\sqrt{(1-(-3))^2+(4-2)^2}\\ =&2\sqrt{5}\end{align*}$

   c. Kemudian dengan perbandingan $2:1$ pada salah satu garis berat didapat koordinat titik berat sebagai berikut.

$x=\frac{2x_E+x_A}{3}=\frac{2(-\frac{3}{2})+2}{3}=-\frac{1}{3}$

$y=\frac{2y_E+y_A}{3}=\frac{2(\frac{5}{2})+5}{3}=\frac{10}{3}$

Jadi, koordinat titik berat $\triangle ABC$ adalah $(\frac{1}{3},\frac{10}{3})$

2. Diketahui titik titik $A(-3,2,5)$, $B(1,-3,2)$, $C(4,3,2)$ yang membentuk $\triangle ABC$. Tentukan :

   a. Panjang sisi sisi $\triangle ABC$

   b. Panjang ketiga garis berat $\triangle ABC$, dan

   c. Koordinat titik berat $\triangle ABC$

Pembahasan : a. Dengan menggunakan formula mencari jarak antara dua titik maka didapat

$\begin{align*}AB=&\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\\ =&\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-2)^2+(2-5)^2}\\ =&5\sqrt{2}\end{align*}$

$\begin{align*}BC=&\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2+(z_C-z_B)^2}\\ =&\sqrt{(4-1)^2+(3-(-3))^2+(2-2)^2}\\ =&3\sqrt{5}\end{align*}$

$\begin{align*}AC=&\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2+(z_C-z_A)^2}\\ =&\sqrt{(4-(-3))^2+(3-2)^2+(2-5)^2}\\ =&\sqrt{59}\end{align*}$

   b. Kita tahu bahwa untuk mencari koordinat titik tengah dari titik $(x_1,y_1,z_1)$ dan $(x_2,y_2,z_2)$ adalah $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})$. Dengan begitu bisa diperoleh titik tengah titik $AB$, $BC$, $AC$ berturut turut yaitu $D(-1,-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$, $E(\frac{5}{2},0,2)$, $F(\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{7}{2})$. Kemudian dengan formula jarak antara dua titik diperoleh panjang garis berat yaitu :

$\begin{align*}CD=&\sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2+(z_D-z_C)^2}\\ =&\sqrt{(-1-4)^2+(-\frac{1}{2}-3)^2+(\frac{7}{2}-2)^2}\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{158}\end{align*}$

$\begin{align*}AE=&\sqrt{(x_E-x_A)^2+(y_E-y_A)^2+(z_E-z_A)^2}\\ =&\sqrt{(\frac{5}{2}-(-3))^2+(0-2)^2+(2-5)^2}\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{173}\end{align*}$

$\begin{align*}BF=&\sqrt{(x_F-x_B)^2+(y_F-y_B)^2+(z_F-z_B)^2}\\ =&\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(\frac{5}{2}-(-3))^2+(\frac{7}{2}-2)^2}\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{131}\end{align*}$

   c. Kemudian dengan perbandingan $2:1$ pada salah satu garis berat didapat koordinat titik berat sebagai berikut.

$x=\frac{2x_E+x_A}{3}=\frac{2(\frac{5}{2})+(-3)}{3}=\frac{2}{3}$

$y=\frac{2y_E+y_A}{3}=\frac{2(0)+2}{3}=\frac{2}{3}$

$z=\frac{2z_E+z_A}{3}=\frac{2(2)+5}{3}=3$

Jadi, koordinat titik berat $\triangle ABC$ adalah $(\frac{2}{3},\frac{2}{3},3)$