Menghitung Luas Segitiga dengan Metode Heron

Sudah kah kalian tahu tentang rumus mencari luas segitiga. Ada banyak metode mencari luas segitiga. Dan metode yang cukup umum yang kita kenal pada saat kita duduk di bangku Sekolah Dasar yaitu kita sudah diajarkan menghitung Luas segitiga dengan rumus $\frac{1}{2}\times a\times t$. Kita juga kenal dengan rumus $\frac{1}{2}\times a\times b\sin\ C$, yang digunakan apabila dua sisi dan sudut apitnya diketahui. Tetapi bagaimana jika didalam segitiga tersebut tingginya tidak diketahui, sudut apitnya ga diketahui melainkan yang diketahui hanya sisi sisinya saja.

Lalu bagaimanakah cara menghitung luas nya jika ketiga sisinya diketahui?? Untuk itu jika ingin menghitung luasnya, Ada suatu metode yang dikenal sebagai Metode Heron. Metode ini dipakai untuk menentukan luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya. Metodenya adalah sebagai berikut.

Diberikan $a,b,c$ adalah sisi-sisi sebuah segitiga. (seperti gambar di bawah).

Maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus
$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, dengan $s$ merupakan setengah keliling segitiga atau
$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ yang dikenal dengan rumus Heron.

Pembuktian Rumus Heron
Misalkan segitiga dengan sisi $a,b,c$ dan $t$ merupakan tinggi segitiga sehingga $a$ adalah alas segitiga, seperti pada gambar berikut

Kita gunakan rumus phytagoras pada segitiga diatas,, dimana garis tinggi segitiga tegak lurus dengan sisi alasnya maka kita akan mendapatkan dua persamaan dibawah ini yaitu
$x^2+t^2=c^2\ ....(1)$
$(a-x)^2+t^2=b^2\ ....(2)$
Eliminasi kedua persamaan
$x^2-(a-x)^2=c^2-b^2$
$x^2-(a^2-2ax+x^2)=c^2-b^2$
$-a^2+2ax=c^2-b^2$
$x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$
Kemudian substitusi ke persamaan (1) diperoleh
$\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)^2+t^2=c^2$
$t^2=c^2-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{(2a)^2}$
$t^2=\frac{(2ac)^2-(a^2+c^2-b^2)^2}{(2a)^2}$
$t^2=\frac{-(a^2+2ac+c^2-b^2)(a^2-2ac+c^2-b^2)}{4a^2}$
$t^2=\frac{-((a+c)^2-b^2)((a-c)^2-b^2)}{4a^2}$
$t^2=\frac{-(a+c+b)(a+c-b)(a-c+b)(a-c-b)}{4a^2}$
$t^2=\frac{(a+c+b)(a+c-b)(a+b-c)(c+b-a)}{4a^2}$
$t^2=\frac{(2s)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)}{4a^2}$
Dengan $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$
$t=\sqrt{\frac{4s(s-b)(s-c)(s-a)}{a^2}}$
$t=\frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Kita tau rumus Luas segitiga yaitu
$L=\frac{1}{2}\times a\times t$
$L=\frac{1}{2}\times a\times\frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
Terbukti

Contoh soal :
Diketahui suatu segitiga dengan panjang sisi sisinya adalah $5,6,7$. Hitung luas segitiga tersebut.
Jawab : Yakni dengan menggunakan rumus heron diatas, maka kita punya
$s=\frac{1}{2}(5+6+7)=9$
Maka dari itu didapatkan
$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$L=\sqrt{9\times 4\times 3\times 2}$
$L=6\sqrt{6}$