Soal Matematika Penalaran Tentang Lingkaran

Oke.. Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Di kesempatan ini kita akan membahas sebuah soal matematika di whatsapp baik itu diambil dari grub atau yang secara privasi ke saya. Baiklah ini adalah edisi pertama kita membahas soal matematika. Dan pada kali ini soal yang diajukan terkait dengan ruang lingkup geometri. Jadi, dapat materi ini adalah materi sekolah yaa paling setingkat SMP atau SMA maybe karena bau baunya ada trigonometri sih, hmm.. saya kurang tahu juga persisnya. Okelah langsung saja kita melihat soalnya dibawah ini.
Soal tentang geometri mengenai materi lingkaran yaitu tentang Luas lingkaran

Oke, sebelum kita menjawab soal masih ingatkah kalian terkait rumus daripada luas lingkaran itu sendiri??

Hehe.. ya bener umumnya rumus lingkaran yang sering kita gunakan adalah $\pi r^2$.

Oke kembali ke soal ya. Jadi pada soal diatas diketahui persegi $ABCD$ dengan panjang sisi $10$ cm. Lingkaran melalui titik $A$ dan titik $D$ dan menyinggung sisi $BC$. Yang ditanya adalah Luas lingkaran

Pembahasan : Misalkan titik $E$ dan $F$ diberikan sebagai gambar berikut.

Perhatikan bahwa keterkaitan antara $\angle AED$ fan $\angle AFD$ yaitu $\angle AED=2\angle AFD$. Berdasarkan teorema phytagoras kita tahu

$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\frac{1}{2}\sqrt{5}AB$

Dan menurut aturan cosinus

$AD^2=AF^2+FD^2-2AF\times FD\times \cos \angle AFD$

atau

$AD^2=2AF^2\left(1-\cos \angle AFD\right)$

Substitusi nilai $AF=\frac{1}{2}\sqrt{5}AB$ diperoleh

$AD^2=\frac{5}{2}AB^2\left(1-\cos \angle AFD\right)$

Karena $AD=AB$, maka diperoleh

$1-\cos \angle AFD=\frac{2}{5}$

$\cos \angle AFD=\frac{3}{5}$

Maka dari itu $\cos \angle AED=\cos 2\angle AFD$

Kita gunakan formula cosinus sudut ganda didapat

$\cos \angle AED=2\cos^2 \angle AFD-1$

Sehingga $\cos \angle AED=\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$

Maka dari itu menurut aturan cosinus

$AD^2=AE^2+ED^2-2\times AE\times ED\times \cos \angle AED$

$10^2=r^2+r^2-2\times r\times r\times \left(-\frac{7}{25}\right)$

$100=2r^2\left(1+\frac{7}{25}\right)$

$r^2=\frac{50}{1+\frac{7}{25}}$

$r^2=\frac{1250}{32}=\frac{625}{16}$

Luas lingkaran yaitu $\pi r^2$. Jadi, luas lingkarannya adalah

$\frac{625}{16}\pi \text{cm}^2$