Pembahasan Soal ON-MIPA PT Matematika

Pembahasan Soal ON-MIPA PT Matematika Bidang Aljabar Linear Tahun 2014

1) Matriks eselon baris tereduksi untuk $\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4  & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right]$ adalah...
   Jawab : $\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4  & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right]$
Dengan menggunakan OBE , $b_2-4b_1, b_3-7b_1$
$\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 0  & -3 & -6\\ 0 & -4 & -12 \end{matrix}\right]$
lanjutkan dengan $-\frac{1}{3}b_2$
$\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 0  & 1 & 2\\ 0 & -4 & -12 \end{matrix}\right]$
lanjutkan dengan $b_1-2b_2 , b_3+4b_2$
$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 0  & 1 & 2\\ 0 & 0 & -4 \end{matrix}\right]$
lanjutkan dengan $-\frac{1}{4}b_3$
$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -1\\ 0  & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]$
lanjutkan dengan $b_1+b_3 , b_2-2b_3$
$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0  & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]$ $\rightarrow$ Matriks Eselon Baris Tereduksi
2) Misalkan $W$ ruang vektor atas lapangan kompleks $\mathbb{C}$. Dengan demikian, $V$ juga ruang vektor atas lapangan real $\mathbb{R}$. Jika $dim_{\mathbb{R}}(W)=2014$ maka $dim_{\mathbb{C}}(W)=...$
3) Misalkan $I_n$ adalah matriks identitas di $\mathbb{R}^{n\times n}$ dan $a, b, c, d$ adalah bilangan-bilangan real tak nol. Jika $A=\left[\begin{matrix} aI_n & bI_n\\ cI_n & dI_n \end{matrix}\right]\in\mathbb{R}^{2n\times 2n}$, maka det $A=...$
4) Misalkan $T : \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ adalah transformasi pencerminan terhadap garis $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$. Untuk sebarang bilangan real $a$, $T(a,2014)=...$
5) Jika matriks $\left[\begin{matrix} 3 & 2-a\\ a & 3 \end{matrix}\right]\in\mathbb{R}^{2n\times 2n}$ memiliki dua vektor eigen yang saling orthogonal, maka $a=...$
  Jawab : Misalkan $A=\left[\begin{matrix} 3 & 2-a\\ a & 3 \end{matrix}\right]$ maka
$(\lambda I-A)v=0$
$\left(\lambda \left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 3 & 2-a\\ a & 3 \end{matrix}\right]\right)v=0$
$\left(\left[\begin{matrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 3 & 2-a\\ a & 3 \end{matrix}\right]\right)v=0$
$\left(\left[\begin{matrix} \lambda -3 & a-2\\ -a & \lambda -3 \end{matrix}\right]\right)v=0$
Karena berlaku det$(\lambda I-A)=0$ maka
det$\left(\left[\begin{matrix} \lambda -3 & a-2\\ -a & \lambda -3 \end{matrix}\right]\right)=0$
$(\lambda -3)^2-(a-2)(-a)=0$
$\lambda^2 -6\lambda +a^2-2a+9=0$
$\lambda=\frac{6\pm\sqrt{36-4a^2+8a}}{2}$
$\lambda=3\pm\sqrt{9-a^2+2a}$
Cek maka $\lambda=3$
$\left[\begin{matrix} 0 & a-2\\ -a & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} v_1\\ v_2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]$
Jika $a=0$
$\left[\begin{matrix} 0 & -2\\ 0 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} v_1\\ v_2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]$
$\left[\begin{matrix} -2v_2\\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]$
$v_2=0$
Jika $a=2$
$\left[\begin{matrix} 0 & 0\\ -2 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} v_1\\ v_2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]$
$\left[\begin{matrix} -2v_2\\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right]$
$v_2=0$

6) Bilangan $-1$ adalah nilai eigen matriks  $A=\left[\begin{matrix} -1 & 0 & 1 & -1\\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right]\in\mathbb{R}^{4\times 4}$. Dimensi ruang eigen $A$ untuk nilai eigen $-1$ adalah...
7) Di ruang vektor $P_2$ kita definisikan hasilkali dalam $\langle p,q\rangle =p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$, untuk setiap $p,q\in P_2$. Salah satu unsur $P_2$ yang normanya 1 dan orthogonal terhadap kedua polinom $u(x)=x^2-1$ dan $v(x)=x$ adalah...
8) Transformasi linier $T : P_2\rightarrow P_2$ didefinisikan sebagai $T(p)(x)=p(1-x)-p(1+x)$, untuk setiap $p\in P_2$. [Sebagai contoh $T(x^2-1)=-4x$. Himpunan $\{ax^2+bx+c, bx^2+cx+a\}$ merupakan basis Inti$(T)$ jika $(a, b, c)=...$