Pembahasan Contoh Soal Olimpiade Matematika Tentang Fungsi

 Oke guys pada postingan kita kali ini saya akan membahas contoh soal olimpiade matematika khususnya terkait fungsi. Oke langsung saja ke pembahasannya.

1. Jika $f(x)=2x-3$, maka $2f(x^2)-(f(x))^2+3f(-2x)=....$

Jawab : Karena $f(x)=2x-3$ maka $f(x^2)=2x^2-3$ dan $f(-2x)=-4x-3$. Sehingga 

$2f(x^2)-(f(x))^2+3f(-2x)$

$=2(2x^2-3)-(2x-3)^2+3(-4x-3)$

$=4x^2-6-(4x^2-12x+9)-12x-9$

$=4x^2-6-4x^2+12x-9-12x-9$

$=-24$

2. Diketahui $f(x)=x+5$ dan $(fog)(x)=3x^2+7$. Maka $g(x)=...$

Jawab : Perhatikan bahwa $(fog)(x)=f(g(x))=g(x)+5$. Kita punya $g(x)+5=3x^2+7$. Jadi $g(x)=3x^2+2$

3. Misalkan $f(x)=2x-6$ dan $g(x)=\sqrt{x}$. Jika $f(g(x))=-4$ maka $x=....$

Jawab : Perhatikan bahwa $f(g(x))=f(\sqrt{x})=2\sqrt{x}-6$

Sehingga kita punya $2\sqrt{x}-6=-4$ atau $x=1$

4. Jika $f(x)=5x$, $g(x)=3x^2-1$ dan $h(x)=x-5$, maka $(fogoh)(x)=...$

Jawab : Perhatikan bahwa

$\begin{align*}(fogoh)(x)=&f(g(h(x)))\\ =&f(g(x-5))\\ =&f(3(x-5)^2-1)\\ =&5(3(x-5)^2-1)\\ &=5(3(x^2-10x+25)-1)\\ &=5(3x^2-30x+74)\\ &=15x^2-150x+370\end{align*}$

5. Diberikan $f(x)=\frac{x+a}{x-4}$ untuk $x\neq 4$. Jika $f(2)+f(0)+f^{-1}(2)+f^{-1}(3)=2023$, maka $f(5)=...$

Jawab : Kita dapat peroleh bahwa $f^{-1}(x)=\frac{4x+a}{x-1}$. Oleh karena itu, kita punya

$\frac{2+a}{-2}+\frac{a}{-4}+8+a+\frac{12+a}{2}=2023$

$-1-\frac{a}{2}-\frac{a}{4}+8+a+6+\frac{a}{2}=2023$

$\frac{3a}{4}=2010$

$a=2680$

Jadi, nilai $f(5)=\frac{5+2680}{5-4}=2685$

6. Jika $f^{-1}(x)=\frac{x}{x+1}$ dan $g^{-1}(x)=2x-1$. Maka $(fog)(x)=....$

Jawab : Mudah diperoleh bahwa $f(x)=\frac{-x}{x-1}$ dan $g(x)=\frac{x+1}{2}$. Sehingga dari informasi tersebut kita punya

$\begin{align*}(fog)(x)&=f(g(x))\\ &=f(\frac{x+1}{2})\\ &=\frac{-x}{x-1}\\ &=\frac{-\frac{x+1}{2}}{\frac{x+1}{2}-1}\\ &=\frac{-x-1}{x+1-2}\\ &=\frac{-x-1}{x-1}\end{align*}$

7. Misalkan $f$ suatu fungsi yang memenuhi $f(xy)=\frac{f(x)}{y}$ untuk setiap bilangan real positif $x$ dan $y$. Jika $f(100)=3$, maka $f(10)$ adalah

Jawab : Pilih $x=10$ dan $y=10$ kita punya

$f(100)=\frac{f(10)}{10}$

$3=\frac{f(10)}{10}$

$f(10)=30$

8. Diberikan fungsi

$f(x)=\begin{cases}\frac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3) \text{ jika } x\geq 0\\ \frac{x^2-3x-4}{10-x}+10(3x+1) \text{ jika } x<0\end{cases}$

Nilai dari $f(-23)-f(23)$ adalah

Jawab : Kita hitung satu persatu

$\begin{align*}f(-23)&=\frac{(-23)^2-3(-23)-4}{10-(-23)}+10(3(-23)+1)\\ &=\frac{594}{33}+10(3(-23)+1)\\ &=18-680\\ &=-662\end{align*}$

$\begin{align*}f(23)&=\frac{(23-2)(23-3)}{2}-2(23-1)(23-3)\\ &=210-880\\ &=-670\end{align*}$

Nilai dari $f(-23)-f(23)=-662-(-670)=8$

9. Jika $f$ adalah fungsi sehingga $f(xy)=f(x-y)$ untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$, kemudian $f(6)=1$ maka $f(-2)-f(4)=...$

Jawab : Pilih $y=1$ kita punya untuk setiap bilangan real $x$, $f(x)=f(x-1)$. Jadi $f(6)=f(4)=f(-2)$ maka $f(-2)-f(4)=0$

10. Misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang berlaku untuk setiap bilangan real $x$,

$\begin{align*}f(x)+f(1-x)=100\\ f(1+x)+85=f(x)\end{align*}$

Tentukan nilai dari $f(-2023)+f(2023)$

Jawab : Dari persamaan pertama pada soal ganti $x$ dengan $-x$

$\begin{align*}f(-x)+f(1+x)=100\\ f(1+x)+85=f(x)\end{align*}$

Kurangi kedua persamaan tersebut kita peroleh

$f(-x)-85=100-f(x)$

$f(-x)+f(x)=185$

Jadi nilai dari $f(-2023)+f(2023)$ adalah $185$