Pembahasan Soal UAS Persamaan Differensial Biasa Tahun 2020

 Oke guys pada kesempatan kali ini admin akan membahas soal tentang UAS Persamaan Differensial Biasa Tahun 2020. Oke langsung saja di simak pembahasannya. Seperti biasa, alangkah baiknya kalian mencobanya terlebih dahulu supaya kalian lebih mahir dalam menjawab soal soal persamaan differensial biasa.

1. Find the value of $k$ and $m$ if the following differential equation:

$2y′′ + ky′ + my = 0$

has general solution

$y = e^{−2t}(C_1\cos 3t + C_2 \sin 3t)$

2. Find the general solution of the given differential equation.

$y′′ + 6y′ + 9y =\frac{e^{−3x}}{x^3}$

3. Find the solution of the differential equation

$y′′ − 3y′ − 10y = f(t)$

Where,

$f(t) = \begin{cases}t &, 0 ≤ t < 2\\ 2&, 2 ≤ t < 5\\ 7 − t&, t ≥ 5\end{cases}$

Assume the initial condition are

$y(0) = 1$ and $y′(0) = 0$

4. A $20$ kg weight is attached to spring with constant $k = 8$ kg/m and subjected to an external force $F(t) = 2 \sin t$. The weight is initially displaced $0,5$ m above equilibrium and given an upward velocity of $2$ m/s. Set up the equation of motion then find displacement for $t > 0$ and Assume there’s no damping and $g = 10 \frac{m}{s^2}$. Hint: (use spring model, above equilibrium means negatif direction, upward velocity means negatif direction)

Kita akan translate soalnya terlebih dahulu dalam bahasa Indonesia

1. Carilah nilai $k$ dan $m$ apabila persamaan diferensial berikut :

$2y′′ + ky′ + my = 0$

mempunyai solusi umum

$y = e^{−2t}(C_1\cos 3t + C_2 \sin 3t)$

Jawab : Persamaan karakteristik dari PD tersebut adalah $2\lambda^2+k\lambda+m=0$. Sehingga $\lambda=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-8m}}{4}$. Pandang solusi umum yang diberikan,, maka dapat kita simpulkan $\lambda$ memiliki akar imajiner yaitu $-2\pm 3i$. Oleh karenanya dapat disimpulkan bahwa nilai $\frac{-k}{4}=-2$ atau $k=8$ dan $\frac{\sqrt{8m-k^2}}{4}=3$ atau $m=26$

2. Carilah solusi umum dari persamaan differensial yang diberikan.

$y′′ + 6y′ + 9y =\frac{e^{−3x}}{x^3}$

Jawab : Pertama akan dicari solusi homogen dari PD tersebut yaitu solusi dari $y''+6y'+9y=0$. Persamaan karakteristik dari PD ini adalah $\lambda^2+6\lambda+9=0$ atau $(\lambda+3)^2=0$. Ini kasus dimana akar persamaan karakteristiknya kembar. Sehingga solusi homogen dari PD tersebut berbentuk $y_h=c_1e^{-3x}+c_2te^{-3x}$. Kemudian akan dicari solusi partikularnya. Wronskian nya adalah $W=e^{-3x}(e^{-3x}-3xe^{-3x})-(-3)e^{-3x}.xe^{-3x}$. Atau $W=e^{-6x}$. Jadi $y_p=-e^{-3x}\int \frac{\frac{1}{x^2}e^{-6x}}{e^{-6x}}\ dx+xe^{-3x}\int \frac{\frac{1}{x^3}e^{-6x}}{e^{-6x}}\ dx$

$y_p=-e^{-3x}\int \frac{1}{x^2}\ dx+xe^{-3x}\int \frac{1}{x^3}\ dx$

$y_p=e^{-3x}\frac{1}{x}-xe^{-3x}\frac{1}{2x^2}$

$y_p=e^{-3x}\frac{1}{x}-e^{-3x}\frac{1}{2x}$

$y_p=\frac{1}{2}e^{-3x}\frac{1}{x}$

Jadi solusi umum dari persamaan tersebut adalah $c_1e^{-3x}+c_2te^{-3x}+\frac{1}{2}e^{-3x}\frac{1}{x}$

3. Carilah solusi dari persamaan differensial

$y′′ − 3y′ − 10y = f(t)$

Dimana,

$f(t) = \begin{cases}t &, 0 ≤ t < 2\\ 2&, 2 ≤ t < 5\\ 7 − t&, t ≥ 5\end{cases}$

Assumsikan kondisi awalnya yaitu

$y(0) = 1$ and $y′(0) = 0$

Jawab : Kita akan gunakan metode lagrange disini.

$f(t)=t+(2-t)u_2(t)+(5-t)u_5(t)$

$\mathcal{L}(y′′ − 3y′ − 10y)=\mathcal{L}(f(t))$

$\begin{align*}LHS&=s^2\mathcal{L}(y)-sy(0)-y'(0)-3s\mathcal{L}(y)+3y(0)-10\mathcal{L}(y)\\ &=(s^2-3s-10)\mathcal{L}(y)-s+3 \end{align*}$

$\begin{align*}RHS&=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2}\\ &=-\frac{1}{s^2}\end{align*}$

Sehingga didapat

$\begin{align*}(s^2-3s-10)\mathcal{L}(y)-s+3&= -\frac{1}{s^2}\\ (s^2-3s-10)\mathcal{L}(y) &=\frac{s^3-3s^2-1}{s^2}\\ (s^2-3s-10)\mathcal{L}(y) &=\frac{s^3-3s^2-10s}{s^2} +\frac{10s-1}{s^2}\\ \mathcal{L}(y) &=\frac{1}{s}+\frac{10s-1}{s^2(s^2-3s-10)}\\ \mathcal{L}(y) &=\frac{1}{s}-\frac{68}{s}-\frac{1}{s^2}+\frac{49}{s-5}+\frac{19}{s-2}\\ y&=\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s}-\frac{68}{s}-\frac{1}{s^2}+\frac{49}{s-5}+\frac{19}{s-2}) \end{align*}$

Jadi

$y=-67-t+49e^{5t}+19e^{2t}$

4. Sebuah beban $20$ kg diikatkan pada pegas dengan konstanta $k = 8$ kg/m dan dikenai gaya luar $F(t) = 2 \sin t$. Berat awal dipindahkan $0,5$ m di atas keseimbangan dan diberi kecepatan ke atas $2$ m/s. Tentukan persamaan gerak kemudian cari perpindahan untuk $t > 0$ dan Asumsikan tidak ada redaman dan $g = 10 \frac{m}{s^2}$. Petunjuk: (gunakan model pegas, keseimbangan di atas berarti arah negatif, kecepatan ke atas berarti arah negatif)

Jawab : Pembahasan soal ini menyusul. Masih belum kepikiran membuat permodelannya. Jika teman-teman bisa membantu silakan tulis di kolom komentar.