Pembahasan Soal UAS Kalkulus Differensial 2017

Berikut merupakan solusi soal UAS kaldif tahun 2017

1) Sebuah kotak tembaga berbentuk kubus ketika dipanasi memuai sehingga luas permukaannya bertambah dengan tingkat pertambahan luas $72$ mm²/detik. Berapakah tingkat pertambahan volumenya ketika panjang rusuknya $3$ mm?
Jawab : $L(t)=6s(t)^2$
$\frac{dL(t)}{dt}=12s(t)\frac{ds(t)}{dt}$
$72=12.3\frac{ds(t)}{dt}$
$\frac{ds(t)}{dt}=2$
$V=s(t)^3$
$\frac{dV(t)}{dt}=3s(t)^2\frac{ds(t)}{dt}$

$\frac{dV(t)}{dt}=3.3^2.2$
$\frac{dV(t)}{dt}=54$
Jadi tingkat pertambahan volumenya ketika panjang rusuknya $3$ mm adalah $54$ mm³/detik

2) Tentukan dua titik potong kurva $x^2+xy+y^2=7$ terhadap sumbu $x$. Tunjukkan bahwa garis singgung kurva di kedua titik potong tersebut sejajar. Berapakah kemiringan/gradient garis singgung-garis singgung tersebut.
Jawab : Titik potong terhadap sumbu $x$ jadi $y=0$.
$x^2=7$
$x=\pm\sqrt{7}$
Jadi titik potong kurva tsb terhadap sumbu $x$ adalah $(-\sqrt{7},0)$ dan $(\sqrt{7},0)$
Akan ditunjukkan bahwa garis singgung kurva di kedua titik potong tersebut sejajar
Dengan menggunakan turunan parsial dari persamaan kurva diatas diperoleh
$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0$
$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x-y}{x+2y}$
$m=\frac{-2x-y}{x+2y}$
$m_1=-2$
$m_2=-2$
Terbukti bahwa keduanya sejajar.
Kemiringan gradient tersebut adalah $-2$

3) Tunjukkan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut.
a.$y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^3$
b.$y=x^2sin^4\ x+xtan\ x$

Jawab :
a. $y'=3\left(1+\frac{1}{x}\right)^2\left(-\frac{1}{x^2}\right)$
$y'=-3\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^2$
$y''=-6\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\left(-\frac{2}{x^3}-\frac{3}{x^4}\right)$
$y''=\frac{12}{x^5}+\frac{18}{x^6}+\frac{12}{x^6}+\frac{18}{x^7}$
$y''=\frac{12}{x^5}+\frac{30}{x^6}+\frac{18}{x^7}$
b. $y'=2xsin^4\ x+x^2.4sin^3\ x.cos\ x+tan\ x+xsec^2\ x$
$y'=2xsin^3\ x(sin\ x+2xcos\ x)+tan\ x+xsec^2\ x$
$y''=(2sin^3\ x+6xsin^2\ x.cos\ x)(sin\ x+2xcos\ x)+2xsin^3\ x(cos\ x+2cos\ x-2xsin\ x)+sec^2\ x+sec^2\ x+2xsec\ x.sec\ x.tan\ x$
$y''=(2sin^3\ x+6xsin^2\ x.cos\ x)(sin\ x+2xcos\ x)+2xsin^3\ x(3cos\ x-2xsin\ x)+2sec^2\ x+2xsec^3\ x.sin\ x$
$y''=2sin^4\ x+4xsin^3\ x.cos\ x+6xsin^3\ x.cos\ x+12x^2sin^2\ x.cos^2\ x+6xsin^3\ x.cos\ x-4x^2sin^4\ x+2sec^2\ x+2xsec^3\ x.sin\ x$
$y''=2sin^4\ x+16xsin^3\ x.cos\ x+12x^2sin^2\ x.cos^2\ x-4x^2sin^4\ x+2sec^2\ x+2xsec^3\ x.sin\ x$