Pembahasan soal CAPTION 2020

 Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh

Pada kesempatan kali ini admin akan membahas salah satu soal CAPTION 2020. Buat kalian yang belum tahu CAPTION 2020 adalah lomba Calculus yang diadakan oleh ITS tahun 2020 kepada para mahasiswa. Oke langsung saja disimak pembahasannya,,

Soal yang saya bahas adalah soal no 2.

Soal

Diberikan suatu bilangan $c\in\mathbb{R}$ yang memenuhi persamaan

$\begin{align*}\int_{-23082020\pi}^{23082020\pi}\frac{1-cos^{20200823}(\mid x\mid )}{1-c^x}\ dx=2\pi c\end{align*}$

Digit satuan dari penjumlahan digit-digit $c$ adalah....

Pembahasan

Pertama kita tuliskan $M=\int_{-23082020\pi}^{23082020\pi}\frac{1-cos^{20200823}(\mid x\mid )}{1-c^x}\ dx$

Misalkan : $y=-x$ atau $x=-y$ dan $dx=-dy$ maka

$M=\int_{23082020\pi}^{-23082020\pi}\frac{1-cos^{20200823}(\mid -y\mid )}{1-c^{-y}}\ -dy$

$M=\int_{-23082020\pi}^{23082020\pi}\frac{-c^{y}}{-c^{y}}.\frac{1-cos^{20200823}(\mid y\mid )}{1-c^{-y}}\ dy$

$M=\int_{-23082020\pi}^{23082020\pi}\frac{-c^{y}\left(1-cos^{20200823}(\mid y\mid )\right)}{-c^{y}+1}\ dy$

Tentunya $y$ variable dummy dan bisa kita ganti dengan $x$

$M=\int_{-23082020\pi}^{23082020\pi}\frac{-c^{x}\left(1-cos^{20200823}(\mid x\mid )\right)}{-c^{x}+1}\ dx$

Kemudian jumlahkan persamaan terakhir yang didapat ini dengan persamaan awal maka kita peroleh

$2M=\int_{-23082020\pi}^{23082020\pi}\frac{\left(1-c^{x}\right)\left(1-cos^{20200823}(\mid x\mid )\right)}{1-c^{x}}\ dx$

$2M=\int_{-23082020\pi}^{23082020\pi}1-cos^{20200823}(\mid x\mid )\ dx$

Perhatikan fungsi diatas termasuk fungsi genap sehingga diperoleh,

$M=\int_{0}^{23082020\pi}1-cos^{20200823}(\mid x\mid )\ dx$

Kita tahu bahwa $cos\ (x)$ mempunyai periode sepanjang $2\pi$, sedangkan $2\pi$ habis membagi ${23082020\pi}$. Jadi kita punya $\int_{0}^{23082020\pi}cos^{20200823}(\mid x\mid )\ dx=0$.

$M=23082020\pi-0$

$2\pi c=23082020\pi$

$c=\frac{23082020}{2}=11541010$

Jadi, jumlah digit daripada $c$ adalah $1+1+5+4+1+0+1+0=13$, Jadi, jawaban untuk soal ini adalah $3$.