Pembahasan Soal UAS Kalkulus Differensial 2019

 Oke dulur dulur semua kali ini admin spesial akan membahas soal UAS, yaitu tentang pembahasan soal UAS Kalkulus Differensial 2019. Baiklah kalau begitu kita langsung simak pembahasannya...

1. Tentukan himpunan semua nilai $x$ agar grafik fungsi $f(x)=3^{x+1}-\left(\frac{1}{9}\right)^x$ berada di atas grafik fungsi $g(x)=3^x+1$

2. Benar atau salah pernyataan berikut sertakan argument anda.

a. Jika $f(x)\neq g(x)$ untuk semua $x$ maka $\lim\limits_{x\to c}f(x)\neq\lim\limits_{x\to c}g(x)$

b. Jika $f$ fungsi turun yang terdifferensial pada selang $I$, maka $f'(x)<0$ untuk semua $x$ dalam $I$

3. Sketsalah grafik fungsi $f$ yang kontinyu pada $[0,\infty)$ dan memenuhi syarat berikut.

i) $f(0)=f(4)=1, f(2)=2$

ii) $f'(2)$ tidak ada, $f'(4)=0$

iii) $f'(x)>0$ pada $(0,2)\cup (4,6)$ dan $f'(x)<0$ pada $(2,4)\cup (6,\infty)$

iv) $f''(x)>0$ pada $(0,2)\cup (3,6)\cup (6,\infty)$ dan $f''(x)<0$ pada $(2,3)$

v) $\lim\limits_{x\to 6^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 6^{+}}f(x)=\infty$ dan $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$

b. Tentukan rumus fungsi $f$ yang grafiknya anda sketsa pada bagian (a). Jelaskan cara anda (Hint : gunakan fungsi sepotong sepotong)

4. Tentukan $\lim\limits_{x\to 0}\frac{t(1-cos\ t)}{t-sin\ t}$

5. Jumlah dari 3 bilangan nonnegative adalah 36. Salah satu bilangan tersebut merupakan dua kali salah satu bilangan yang lain. Hasil kali maksimum dari ketiga bilangan itu

6. Tentukan deret Maclaurin untuk fungsi $g(x)=sin\ 3x$

Pembahasan 

1. Agar grafik suatu fungsi berada diatas grafik fungsi lain maka nilai fungsi tersebut haruslah lebih dari fungsi lain itu. Jadi dari sini kita dapatkan $f(x)>g(x)$ atau

$3^{x+1}-\left(\frac{1}{9}\right)^x>3^x+1$

$3\times 3^x-3^{-2x}-3^x-1>0$

Misalkan $y=3^x$ jadi

$3y-y^{-2}-y-1>0$

$2y-y^{-2}-1>0$

Karena $y^2> 0$ maka kita boleh mengalikan kedua ruas dengan $y^2$ 

$2y^3-1-y^2>0$

$2y^3-y^2-1>0$

$(y-1)(2y^2+y+1)>0$

Karena $2y^2+y+1$ definit positif (silahkan cek!!!) maka

$y-1>0$ atau $y>1$

Jadi $3^x>1=3^0$ sehingga $x>0$

Maka dari itu himpunan semua $x$ agar grafik fungsi $f(x)$ berada di atas grafik fungsi $g(x)$ yaitu $\{x|x>0,x\in R\}$

2. a. Salah, Perhatikan bahwa jika fungsi nya kita pilih $f(x)=\frac{1}{x^2}$ dan $g(x)=\frac{1}{x^2}+1$. Jelas bahwa $f(x)\neq g(x)$ akan tetapi perhatikan juga $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=\infty$. Jadi, pernyataan tersebut salah.

b. Salah, Mungkin sebagian dari kalian yang menjawab ini benar karena mengingat bahwa jika $f'(x)<0$ maka $f$ merupakan fungsi turun. Akan tetapi ini tidak untuk sebaliknya, contohnya ambil $f(x)=-x^3$. Perhatikan $f(x)$ merupakan fungsi turun karena untuk setiap $x_1>x_2$ mengakibatkan $f(x_1)<f(x_2)$ (Silahkan kalian tunjukkan pernyataan ini!!!). Akan tetapi perhatikan $f'(0)=0$. Jadi terdapat nilai $x$ yang mengakibatkan $f'(x)<0$ salah. Jadi pernyataan tersebut salah.

3. a, 

b. Silahkan kalian coba dengan syarat syarat diatas

(Hint : Jadikan fungsi sepotong potong $[0,2]$,$[2,4]$,$[4,6]$,$[6,\infty]$. Untuk interval pertama gunakan fungsi $ax^2+bx+c$, interval kedua gunakan fungsi $ax^3+bx^2+cx+d$, interval ketiga gunakan fungsi $\frac{a}{(x-6)(x-b)}$, interval terakhir gunakan fungsi $\frac{a}{x-6}$)

4. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{t(1-cos\ t)}{t-sin\ t}=\frac{0}{0}$

Kerena bentuk tak tentu kita bisa gunakan aturan $L'hopital$ diperoleh

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-cos\ t+t.sin\ t}{1-cos\ t}=\frac{0}{0}$

dengan cara serupa

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sin\ t+sin\ t+t.cos\ t}{sin\ t}=\frac{0}{0}$

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{cos\ t+cos\ t+cos\ t-t.sin\ t}{cos\ t}=\frac{1+1+1-0}{1}=3$

5. Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah $a,b,c\geq 0$. Maka kita tahu bahwa

$a+b+c=36$

$c=2b$

Dari kedua persamaan diatas didapat

$a+3b=36$

$a=36-3b$

Maka dari itu hasil kali ketiga bilangan tsb adalah

$abc=(36-3b)b(2b)$

Agar maksimum maka $(72b^2−6b^3)′=0$ yaitu $144b−18b^2=0$ atau $−18b(b−8)=0$

Yang dipenuhi oleh $b=0$ atau $b=8$

Jika $b=0$ maka jelas $abc=0$

Jika $b=8$ maka $abc=(36−3.8)8(16)=1536$

Jadi, Hasil kali maksimum dari ketiga bilangan itu adalah 1536

6. $f(x)=sin\ 3x$

Mengingat bahwa deret Maclaurin dari suatu fungsi $f(x)$ adalah

$f(0)+\frac{f'(0)x}{1!}+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}+\cdots$

Jadi, deret maclaurin dari $f(x)=sin\ 3x$ adalah $\frac{3x}{1!}-\frac{27x^3}{3!}+\frac{243x^3}{5!}+\cdots \frac{(-1)^{n+1}3^nx^n}{n!}+\cdots$