Persamaan Parabola dan Persamaan Garissinggung Parabola

 Hello Guyss

Di kesempatan ini admin ingin berbagi materi Geometri Analitik tentang Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola. Silahkan Disimak Pembahasannya. Jika kalian ada pertanyaan silahkan tulis di kolom komentar. Semoga kalian suka dengan blog ini, langsung saja ke pembahasannya.

Persamaan Parabola

Persamaan Parabola dengan Titik puncak (a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu koordinat

Sesuai definisi parabola, yaitu tempat kedudukan titik titik yang jaraknya terhadap fokusnya sama dengan jaraknya terhadap direktriks. Perbandingan jarak ini disebut eksentrisitas (e) dengan $e=1$.

Perhatikan gbr diatas. Untuk $p>0$, persamaan parabola dengan puncak (a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu $x$, adalah :

$e=\frac{PF}{PQ}$

$1=\frac{PF}{PQ}$

$PQ=PF$

$\mid\frac{x_0-a+p}{\sqrt{1}} \mid=\sqrt{(x_0-(a+p))^2+(y_0-b)^2}$

$(x_0-a+p)^2=(x_0-(a+p))^2+(y_0-b)^2$

$(x_0-a+p+x_0-(a+p))(x_0-a+p-x_0+(a+p))=(y_0-b)^2$

$(2x_0-2a)(2p)=(y_0-b)^2$

$4px_0-4ap=(y_0-b)^2$

$(y_0-b)^2=4p(x_0-a)$

Oleh karena titik $(x_0,y_0)$ berjalan di sepanjang parabola maka didapat persamaan parabola dengan puncak $(a,b)$ dan sumbu simetrinya sejajar sumbu $x$ adalah :

$(y-b)^2=4p(x-a)$

Atau

$(y-b)^2=-4p(x-a)$

Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan parabola dengan puncak $P(a,b)$ dan sumbu simetrinya sejajar sumbu $y$, maka akan diperoleh persamaan parabola :

$(x-a)^2=4p(y-b)$

Atau

$(x-a)^2=-4p(y-b)$

Persamaan Garis Singgung Parabola

Persamaan Garis Singgung Parabola Jika Diketahui Gradiennya

Misalkan Parabola dengan persamaan $(y-b)^2=4p(x-a)$. Misalkan garis $g\equiv y=mx+c$. Maka perpotongan parabola $(y-b)^2=4p(x-a)$ dengan garis $g$ adalah

$(y-b)^2=4p(\frac{y-c}{m}-a)$

$m(y-b)^2=4p(y-c-ma)$

$my^2-2mby+mb^2=4py-4pc-4pma$

$my^2-(2mb+4p)y+mb^2+4pc+4pma=0$

Agar garis $g$ menyinggung parabola maka Deskriminan persamaan kuadrat diatas sama dengan nol. Diperoleh

$(2mb+4p)^2-4m(mb^2+4pc+4pma)=0$

$4m^2b^2+16mbp+16p^2-4m^2b^2-16mpc-16pm^2a=0$

$16mbp+16p^2-16mpc-16pm^2a=0$

$mb+p-mc-m^2a=0$

$c=\frac{p+mb-m^2a}{m}=\frac{p}{a}+b-ma$

Jadi persamaan garis singgung dengan gradien $m$ terhadap parabola $(y-b)^2=4p(x-a)$ adalah $y=mx+\frac{p}{a}+b-ma$ atau $y-b=m(x-a)+\frac{p}{a}$

Dengan cara yang sama diperoleh persamaan garis singgung dengan gradien $m$ terhadap parabola $(y-b)^2=4p(x-a)$ adalah $y-b=m(x-a)-\frac{p}{a}$

Jika persamaan parabola yang diketahui adalah $(x-a)^2=4p(y-b)$ maka persamaan garis singgung dengan gradien $m$ adalah $y-b=m(x-a)-m^2p$

Begitu juga jika persamaan parabola yang diketahui adalah $(x-a)^2=4p(y-b)$ maka persamaan garis singgung dengan gradien $m$ adalah $y-b=m(x-a)+m^2p$

Persamaan Garis Singgung Parabola Melalui Titik Singgungnya

Misalkan parabola dengan persamaan $(y-b)^2=4p(x-a)$ dengan titik $(x_1,y_1)$ pada parabola. Misalkan persamaan garissinggung yang melalui titik $(x_1,y_1)$ adalah $g\equiv y-y_1=m(x-x_1)$ dengan $m$ adalah gradien garis $g$. Maka perpotongan parabola $(y-b)^2=4p(x-a)$ dengan garis $g$ adalah

$(y-b)^2=4p(\frac{y-y_1}{m}+x_1-a)$

$m(y-b)^2=4p(y-y_1+mx_1-ma)$

$my^2-2mby+mb^2=4py-4py_1+4pmx_1-4pma$

$my^2-(2mb+4p)y+mb^2+4py_1-4pmx_1+4pma=0$

Agar garis $g$ menyinggung parabola $(y-b)^2=4p(x-a)$ maka Deskriminan persamaan diatas sama dengan nol. Diperoleh

$(2mb+4p)^2-4m(mb^2+4py_1-4pmx_1+4pma)=0$

$4m^2b^2+16mbp+16p^2-4m^2b^2-16mpy_1+16pm^2x_1-16pm^2a=0$

$16mbp+16p^2-16mpy_1+16pm^2x_1-16pm^2a=0$

$mb+p-my_1+m^2x_1-m^2a=0$

$(x_1-a)m^2-(y_1-b)m+p=0$

$m=\frac{y_1-b\pm \sqrt{(y_1-b)^2-4(x_1-a)p}}{2(x_1-a)}$

$m=\frac{y_1-b\pm \sqrt{(y_1-b)^2-(y_1-b)^2}}{\frac{(y_1-b)^2}{2p}}$

$m=\frac{2p}{y_1-b}$

Substitusi nilai $m$ ke persamaan garis $g$ diperoleh

$y-y_1=\frac{2p}{y_1-b}(x-x_1)$

$(y-b-(y_1-b))(y_1-b)=2p(x-x_1)$

$(y-b)(y_1-b)-(y_1-b)^2=2p(x-x_1)$

$(y-b)(y_1-b)-4p(x_1-a)=2p(x-x_1)$

$(y-b)(y_1-b)=2p(x+x_1-2a)$

Jadi persamaan garis singgung di titik $(x_1,y_1)$ pada parabola $(y-b)^2=4p(x-a)$ adalah $(y-b)(y_1-b)=2p(x+x_1-2a)$

Dengan cara yang sama juga persamaan garissinggung pada parabola $(x-a)^2=4p(y-b)$ adalah $(x-a)(x_1-a)=2p(y+y_1-2b)$