Processing math: 100%

Widget HTML #1

Persamaan Parabola dan Persamaan Garissinggung Parabola

 Hello Guyss

Di kesempatan ini admin ingin berbagi materi Geometri Analitik tentang Persamaan Parabola dan Persamaan Garis Singgung Parabola. Silahkan Disimak Pembahasannya. Jika kalian ada pertanyaan silahkan tulis di kolom komentar. Semoga kalian suka dengan blog ini, langsung saja ke pembahasannya.

Persamaan Parabola

Persamaan Parabola dengan Titik puncak (a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu koordinat



Sesuai definisi parabola, yaitu tempat kedudukan titik titik yang jaraknya terhadap fokusnya sama dengan jaraknya terhadap direktriks. Perbandingan jarak ini disebut eksentrisitas (e) dengan e=1.
Perhatikan gbr diatas. Untuk p>0, persamaan parabola dengan puncak (a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu x, adalah :
e=PFPQ
1=PFPQ
PQ=PF
x0a+p1∣=(x0(a+p))2+(y0b)2
(x0a+p)2=(x0(a+p))2+(y0b)2
(x0a+p+x0(a+p))(x0a+px0+(a+p))=(y0b)2
(2x02a)(2p)=(y0b)2
4px04ap=(y0b)2
(y0b)2=4p(x0a)
Oleh karena titik (x0,y0) berjalan di sepanjang parabola maka didapat persamaan parabola dengan puncak (a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu x adalah :
(yb)2=4p(xa)
Atau
(yb)2=4p(xa)
Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan parabola dengan puncak P(a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu y, maka akan diperoleh persamaan parabola :
(xa)2=4p(yb)
Atau
(xa)2=4p(yb)

Persamaan Garis Singgung Parabola

Persamaan Garis Singgung Parabola Jika Diketahui Gradiennya

Misalkan Parabola dengan persamaan (yb)2=4p(xa). Misalkan garis gy=mx+c. Maka perpotongan parabola (yb)2=4p(xa) dengan garis g adalah
(yb)2=4p(ycma)
m(yb)2=4p(ycma)
my22mby+mb2=4py4pc4pma
my2(2mb+4p)y+mb2+4pc+4pma=0
Agar garis g menyinggung parabola maka Deskriminan persamaan kuadrat diatas sama dengan nol. Diperoleh
(2mb+4p)24m(mb2+4pc+4pma)=0
4m2b2+16mbp+16p24m2b216mpc16pm2a=0
16mbp+16p216mpc16pm2a=0
mb+pmcm2a=0
c=p+mbm2am=pa+bma
Jadi persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap parabola (yb)2=4p(xa) adalah y=mx+pa+bma atau yb=m(xa)+pa
Dengan cara yang sama diperoleh persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap parabola (yb)2=4p(xa) adalah yb=m(xa)pa
Jika persamaan parabola yang diketahui adalah (xa)2=4p(yb) maka persamaan garis singgung dengan gradien m adalah yb=m(xa)m2p
Begitu juga jika persamaan parabola yang diketahui adalah (xa)2=4p(yb) maka persamaan garis singgung dengan gradien m adalah yb=m(xa)+m2p

Persamaan Garis Singgung Parabola Melalui Titik Singgungnya



Misalkan parabola dengan persamaan (yb)2=4p(xa) dengan titik (x1,y1) pada parabola. Misalkan persamaan garissinggung yang melalui titik (x1,y1) adalah gyy1=m(xx1) dengan m adalah gradien garis g. Maka perpotongan parabola (yb)2=4p(xa) dengan garis g adalah
(yb)2=4p(yy1m+x1a)
m(yb)2=4p(yy1+mx1ma)
my22mby+mb2=4py4py1+4pmx14pma
my2(2mb+4p)y+mb2+4py14pmx1+4pma=0
Agar garis g menyinggung parabola (yb)2=4p(xa) maka Deskriminan persamaan diatas sama dengan nol. Diperoleh
(2mb+4p)24m(mb2+4py14pmx1+4pma)=0
4m2b2+16mbp+16p24m2b216mpy1+16pm2x116pm2a=0
16mbp+16p216mpy1+16pm2x116pm2a=0
mb+pmy1+m2x1m2a=0
(x1a)m2(y1b)m+p=0
m=y1b±(y1b)24(x1a)p2(x1a)
m=y1b±(y1b)2(y1b)2(y1b)22p
m=2py1b
Substitusi nilai m ke persamaan garis g diperoleh
yy1=2py1b(xx1)
(yb(y1b))(y1b)=2p(xx1)
(yb)(y1b)(y1b)2=2p(xx1)
(yb)(y1b)4p(x1a)=2p(xx1)
(yb)(y1b)=2p(x+x12a)
Jadi persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada parabola (yb)2=4p(xa) adalah (yb)(y1b)=2p(x+x12a)
Dengan cara yang sama juga persamaan garissinggung pada parabola (xa)2=4p(yb) adalah (xa)(x1a)=2p(y+y12b)

Posting Komentar untuk "Persamaan Parabola dan Persamaan Garissinggung Parabola"