Pembahasan soal ON Mipa PT Matematika Tahun 2023 Seleksi Universitas

 Hai teman teman semua kali ini kita akan membahas soal ON-Mipa PT khususnya bidang Matematika tahun 2023 mari kita simak pembahasan nya.

 Pembahasan Soal KN-Mipa PT Matematika Tahun 2023 Tingkat Perguruan Tinggi

Berikut merupakan soal KN MIPA PT seleksi perguruan tinggi Universitas Negeri Surabaya Tahun 2023. Silakan di simak dan jika kalian menemukan kesalahan atau apapun silakan komentar di bawah. Semoga bermanfaat.

1. Analisis Real

Diberikan himpunan $A=\{-2+\frac{3n}{5m+7n}; m,n\in\mathbb{N}\}$. Tanpa mencari infimum dan supremumnya, apakah supremum dan infimum dari $A$ ada? Berikan penjelasan atas jawaban anda!

Jawab : Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap $m,n\in\mathbb{N}$ maka $-2<-2+\frac{3n}{5m+7n}<-1$. Sehingga himpunan $A$ terbatas diatas dan terbatas dibawah. Sehingga $A$ memiliki batas atas dan memiliki batas bawah. Oleh karena itu, bisa disimpulkan bahwa $A$ mempunyai supremum dan infimum.

2. Analisis Kompleks

Misalkan bilangan kompleks $z=1-i$

a. Tentukan $z^{2020}$

b. Tentukan $z^{\frac{1}{4}}$

Jawab : a. Perhatikan bahwa $z^2=-2i$ dan $z^4=-4$, Sehingga $z^{2020}=(z^4)^{505}=-4^{505}$

b. Perhatikan bahwa $\begin{align*}z&=1-i\\ &=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}i\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right)\end{align*}$

Sehingga menurut dalil de moivre

$z^{\frac{1}{4}}=\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{16}+i\sin \frac{7\pi}{16}\right)=\sqrt[8]{2}e^{\frac{7\pi i}{16}}$

3. Aljabar Linear

Jika determinan matriks $\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{bmatrix}$ adalah $5$, maka tentukan determinan matriks $\begin{bmatrix}2g-d & 2h-e & 2i-f\\ a & b & c\\ d & e & f\end{bmatrix}$

Jawab : Dengan menggunakan reduksi baris pada determinan kita dapatkan sebagai berikut.

$\begin{align*}\begin{vmatrix}2g-d & 2h-e & 2i-f\\ a & b & c\\ d & e & f\end{vmatrix}&=-\begin{vmatrix}a & b & c\\ 2g-d & 2h-e & 2i-f\\ d & e & f\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ 2g-d & 2h-e & 2i-f\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ 2g & 2h & 2i\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ -d & -e & -f\end{vmatrix}\\ &=2\begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ d & e & f\end{vmatrix}\\ &=2.5-0\\ &=10\end{align*}$

4. Struktur Aljabar

Misalkan $G$ suatu grup dengan $\mid G\mid =2013$. Tentukan berapa banyak subgroup $H$ dari $G$ sehingga $\mid H\mid =13$.

Jawab : Karena $13\nmid 2013$, maka $\mid H\mid \nmid \mid G\mid$. Padahal $H$ subgrup $G$ yang harusnya order $H$ membagi order $G$. Jadi, tidak ada subgroup $H$ dari $G$ sehingga $\mid H\mid =13$.

 5. Kombinatorik

Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan linier

$X_1+X_2+X_3=20, 3\leq X_1\leq 6, 2\leq X_2\leq 5, X_3\geq 1$

Jawab : Pada saat perlombaan saya menjawab soal ini dengan menggunakan fungsi pembangkit. Namun, disini kita akan membahasnya dengan cara lain. Dengan meninjau batas $X_1$ dan $X_2$ kita tahu bahwa $5\leq X_1+X_2\leq 11$. Sehingga untuk setiap $X_1$ dan $X_2$ selalu terdapat bilangan bulat $X_3\geq 1$ yang memenuhi $X_1+X_2+X_3=20$. Sebagai contoh jika $X_1+X_2=5$ maka dipilih $X_3=15$ sebagai solusinya. Sehingga cukup ditinjau semua pasangan $(X_1, X_2)$ yang memenuhi kondisi soal. Dengan aturan perkalian maka banyak pasangan $(X_1, X_2)$ yang memenuhi adalah $4\times 4=16$. Jadi, banyaknya solusi bulat dari persamaan linear tersebut adalah sebanyak $16$.