Pembahasan Soal KN-MIPA MATEMATIKA Tahun 2022 Seleksi Perguruan Tinggi

Hai teman teman semua kali ini kita akan membahas soal ON-Mipa PT khususnya bidang Matematika tahun 2022 mari kita simak pembahasan nya.

 Pembahasan Soal KN-Mipa PT Matematika Tahun 2022 Tingkat Perguruan Tinggi

Berikut merupakan soal KN MIPA PT seleksi perguruan tinggi Universitas Negeri Surabaya Tahun 2022. Silakan di simak dan jika kalian menemukan kesalahan atau apapun silakan komentar di bawah. Semoga bermanfaat.

1. Hitung $\binom{2022}{1}+2\binom{2022}{2}+3\binom{2022}{3}+\cdots +2022\binom{2022}{2022}$

Jawab : Perhatikan bahwa

$$\begin{align*}k\binom{n}{k}&=k\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ &=n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\ &=n\binom{n-1}{k-1}\end{align*}$$

Jadi soal diatas akan sama dengan

$$\begin{align*}2022\left(\binom{2021}{0}+\binom{2021}{1}+\cdots +\binom{2021}{2021}\right)&=2022\sum_{k=0}^{2021}\binom{2021}{k}\\ &=2022.2^{2021}\\ &=1011.2^{2022}\end{align*}$$

2. $3$ buah bilangan dipilih (tanpa pengembalian) dari himpunan $\{1,2,3,\cdots , 10\}$. Berapakah banyaknya cara pengambilan sehingga $3$ bilangan yang terpilih jumlahnya genap

Jawab : Agar tiga bilangan yang dipilih berjumlah genap, akan ada dua kemungkinan. Yang pertama yaitu ketiganya bilanngan genap. Yang kedua yaitu terpilih dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap. Oleh karena itu banyaknya cara pengambilan adalah $\binom{5}{3}+\binom{5}{2}\binom{5}{1}=10+10.5=60$ cara 

3. Diberikan suatu grup Abelian $(G,*)$ dengan $a*b=a+b+ab$ untuk setiap $a,b$ anggota $G$. Jika $H=\{h\in G| h^2=e\}$, tunjukan bahwa $H$ subgroup $G$.

Jawab : Jelas $e\in H$ karena $e^2=e$, Jadi $H$ bukan himpunan kosong. Perhatikan bahwa $\forall a,b\in H$ maka $a^2=e$ dan $b^2=e$. Perhatikan bahwa 

$$\begin{align*}(a*b)^2&=a*b*a*b\\ &=a^2*b^2\\ &=e*e\\ &=e\end{align*}$$

Jadi $a*b\in H$. Kemudian karena $b^2=e$ untuk $b\in H$ maka $b^{-1}=b$. Jadi, $b^{-1}\in H$. Sehingga terbukti bahwa $H$ subgroup $G$

4. Suppose that $a$ and $b$ belong to a commutative ring $R$ with unity. If $a$ is a unit of $R$ and $b^2=0$. Show that $a+b$ is a unit of $R$.

Jawab : Karena $a$ adalah unit maka ada $c\in R$ sehingga $ac=ca=1$. Perhatikan bahwa $(a+b)c=ac+bc=1+bc$.

Kemudian $(1+bc)(1-bc)=1-(bc)^2$. Karena $R$ ring komutatif dan $b^2=0$ maka $(bc)^2=0$. Sehingga $(1+bc)(1-bc)=1$. Maka dari itu, kita dapatkan $(a+b)c(1-bc)=1$ atau $(a+b)(c-bc^2)=1$. Terbukti bahwa $a+b$ juga merupakan unit di $R$

5. Diberikan suatu bilangan kompleks $z=(1-i)^{2022}$. Jika $z$ dinyatakan dalam bentuk $a-bi$, Tentukan nilai $5a+7b$

Jawab : Perhatikan bahwa $(1-i)^4=((1-i)^2)^2=(-2i)^2=-4$

Jadi 

$$\begin{align*}z&=(1-i)^{2022}\\ &=((1-i)^4)^{505}(1-i)^2\\ &=-4^{505}(-2i)\\ a-bi&=2^{1002}i\end{align*}$$

Didapat $a=0$ dan $b=-2^{1002}$. Jadi nilai dari $5a+7b=-7.2^{1002}$

6. Diketahui bahwa jika $z=a+bi$ maka $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Jika $|z|=1$ maka tentukan nilai $\left|\frac{z-i}{1+iz}\right|$

Jawab : Perhatikan bahwa $z\neq i$ sehingga berlaku

$$\begin{align*}\frac{z-i}{1+iz}&=\frac{a+(b-1)i}{1-b+ai}\\ &=\frac{(1-b+ai)(-i)}{1-b+ai}\\ &=-i\end{align*}$$

Jadi, nilai $\left|\frac{z-i}{1+iz}\right|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$

7. Diberikan Himpunan $A=(0,4]$. Jika $x$ sebarang anggota $A$, apakah untuk sebarang $\epsilon >0$ pasti berlaku $(x-\epsilon ,x+\epsilon) \subset A$

Keterangan: $(x-\epsilon ,x+\epsilon)$ adalah interval buka dengan batas kiri $x-\epsilon$ dan batas kanan $x+\epsilon$

Jawab : Tidak. Perhatikan bahwa untuk sebarang $x\in A$, terdapat $\epsilon=5$ sehingga kita punya $x_0=4,5\in (x-\epsilon,x+\epsilon)$ dan $x_0\notin A$. Jadi $(4-\epsilon ,4+\epsilon)\not\subset A$

8. Diketahui matriks persegi $A$ dengan $A^3=0$. Jika matriks $A+2I$ tak singular maka carilah $(A+2I)^{-1}$. Jelaskan jawabanmu.

Jawab : Karena matriks $A+2I$ tak singular maka mempunyai invers. Dengan fakta bahwa $A^3=0$, bisa dimisalkan bahwa matriks invers dari $A+2I$ berbentuk $aA^2+bA+cI$ dimana $a,b,c$ suatu konstanta. Dengan demikian, kita punya $(A+2I)(aA^2+bA+cI)=I$. Kita uraikan diperoleh

$$\begin{align*} I&=aA^3+bA^2+cA+2aA^2+2bA+2cI\\ &=(2a+b)A^2+(2b+c)A+2cI\end{align*}$$

Didapatkan $2c=1$ atau $c=\frac{1}{2}$; $2b+c=0$ atau $b=-\frac{c}{2}=-\frac{1}{4}$; $2a+b=0$ atau $a=-\frac{b}{2}=\frac{1}{8}$. Jadi $(A+2I)^{-1}=\frac{1}{8}A^2-\frac{1}{4}A+\frac{1}{2}I$