Fungsi Kompleks

Dalam blog ini, pertama kita akan memperkenalkan fungsi bernilai kompleks dari sebuah variabel kompleks, dan kemudian untuk fungsi tersebut, mendefinisikan konsep limit dan kontinuitas pada suatu titik.

Misalkan $S$ adalah himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks(bernilai kompleks dari variabel kompleks) $f$ yang didefinisikan pada $S$ adalah kaidah yang menetapkan masing-masing $z=x+iy$ dalam $S$ bilangan kompleks khusus $w=u+iv$ ditulis sebagai $f : S \to \mathbb{C}$. Bilangan $w$ disebut nilai $f$ pada $z$ dan dilambangkan dengan $f(z)$. Yaitu $w=f(z)$.

Himpunan $S$ disebut domain bagi $f$. Himpunan $W=\{f(z) : z \in S\}$, sering dilambangkan sebagai $f(S)$ disebut range bagi $f$. Dan $f$ dikatakan memetakkan $S$ ke $W$.
Fungsi $w=f(z)$ dikatakan dari $S$ ke $W$ jika range dari $S$ di bawah $f$ adalah himpunan bagian dari $W$.
Fungsi $f$ disebut satu-satu (atau univalen, atau injektif) pada himpunan $S$ jika persamaan $f(z_1)=f(z_2)$ maka $z_1=z_2$, dimana $z_1$ dan $z_2$ di $S$.
Fungsi $f(z)=iz$ adalah fungsi injektif, sedangkan $f(z)=z^2$ bukan fungsi injektif karena $f(i)=f(-i)=-1$.
Fungsi yang injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif.

Karena setiap bilangan kompleks $z$ ditandai dengan sepasang bilangan real $x$ dan $y$, fungsi kompleks $f$ dari variabel kompleks $z$ dapat ditentukan oleh dua fungsi real $u = u (x, y)$ dan $v = v (x, y)$. Merupakan kebiasaan untuk menuliskan $w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y)$. Fungsi $u$ dan $v$, masing-masing, disebut bagian real dan imajiner dari $f$.

Contoh :
 -) Untuk fungsi $w=f(z)=3z^2+7z$, kita punya
$\begin{align*}f(x+iy)&=3(x+iy)^2+7(x+iy)\\&=3(x^2-y^2+i2xy)+7(x+iy)\\&=(3x^2-3y^2+7x)+i(2xy+7y)\end{align*}$
Dan karenanya $u=3x^2-3y^2+7x$ dan $v=2xy+7y$ demikian juga untuk fungsi $w=f(z)=\mid z \mid^2$, kita dapatkan
$\begin{align*}f(x+iy)&=\mid x+iy\mid^2\\&=x^2+y^2\end{align*}$
Dan karenanya $u=x^2+y^2$ dan $v=0$. Dengan demikian, fungsi ini adalah fungsi bernilai real dari variabel kompleks. Jelas, domain dari kedua fungsi diatas adalah $\mathbb{C}$. Untuk fungsi $w=f(z)=\frac{z}{\mid z\mid}$, domainnya adalah $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ dan range nya $\mid z\mid=1$
 -) Fungsi kompleks eksponensial $f(z)=e^z$ sebagaimana didefinisikan sebelumnya jika $z=x+iy$ maka $e^z=e^x(cos\ y+isin\ y)$. Jelas $u=e^x.cos\ y$ dan $v=e^x.sin\ y$ yang didefinisikan untuk semua $(x,y)\in \mathbb{R}^2$. Dengan demikian, untuk fungsi $e^z$ domain adalah $\mathbb{C}$.

Ingatlah bahwa fungsi bernilai vektor dari dua variabel real $F(x,y)=\left(P(x,y),Q(x,y)\right)$. Dengan menggunakan vektor basis unit ortogonal standar $i$ dan $j$, kita dapat mengekspresikan bidang vektor ini sebagai $F(x,y) = P(x,y) i + Q(x,y) j$. Sebaliknya, setiap fungsi kompleks $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ memiliki bidang vektor yang terkait $F(x,y) = u(x,y) i + v(x,y) j$. Dari sudut pandang ini, baik $F(x,y) = P(x,y) i + Q(x,y) j$ dan $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ dapat disebut bidang vektor.

Misalkan $f$ adalah fungsi didefinisikan di beberapa lingkungan $z_0$, dengan kemungkinan kecuali titik $z_0$ itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit dari $f(z)$ ketika $z$ mendekati $z_0$ adalah $w_0$ jika $\mid f(z)-w_0\mid\rightarrow 0$ ketika $\mid z-z_0\mid\rightarrow 0$ dan kita tuliskan bahwa $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=w_0$. Oleh karena itu, $f(z)$ dapat dibuat sembarang mendekati $w_0$ jika kita memilih $z$ yang mendekati $z_0$. Secara eqivalen kita katakan bahwa $w_0$ adalah limit dari $f$ ketika $z$ mendekati $z_0$ jika untuk setiap $\epsilon>0$ yang diberikan ada $\delta>0$ sehingga
          $0<\mid z-z_0\mid <\delta\Longrightarrow\mid f(z)-w_0\mid<\epsilon$

Contoh :
 -) Dengan definisi, kita akan menunjukkan bahwa
        (i) $\lim\limits_{z\to 1-i} (\bar{z}^2-2)=-2+2i$
        (ii) $\lim\limits_{z\to 1-i} \mid\bar{z}^2-2\mid=\sqrt{8}$
 Langsung saja
       (i) Diberikan $\epsilon>0$ kita punya
 $\mid\bar{z}^2-2-(-2+2i)\mid=\mid\bar{z}^2-2i\mid$
 $=\left|\overline{z^2+2i}\right|$
 $=\mid z^2+2i\mid$
 $=\mid z-(1-i)\mid.\mid z+(1-i)\mid$
    Menurut ketaksamaan segitiga pada bilangan kompleks
 $\leq\mid z-(1-i)\mid.\left(\mid z-(1-i)\mid+2\mid 1-i\mid\right)$
 $\leq\mid z-(1-i)\mid.\left(\mid z-(1-i)\mid+2\sqrt{2}\right)$
 $<\mid z-(1-i)\mid.\left(1+2\sqrt{2}\right)$ jika $\mid z-(1-i)\mid <1$
 $<\epsilon$ jika $\mid z-(1-i)\mid <\text{min}\left\{1,\frac{\epsilon}{1+2\sqrt{2}}\right\}$
       (ii) Diberikan $\epsilon>0$ kita punya
 $\mid\mid\bar{z}^2-2\mid -\sqrt{8}\mid=\mid\mid\bar{z}^2-2\mid-\mid-2+2i\mid\mid$
Karena $\mid z_1\mid-\mid z_2\mid\leq\mid z_1-z_2\mid$ didapat
$\leq\mid\bar{z}^2-2i\mid$
$<\epsilon$ jika $\mid z-(1-i)\mid <\text{min}\left\{1,\frac{\epsilon}{1+2\sqrt{2}}\right\}$ menurut (i) sebelumnya.

 -) (i) Jelas, $\lim\limits_{z\to z_0} z=z_0$
    (ii) Dari ketaksamaan

$\mid Re(z-z_0)\mid=Re(z-z_0)\leq$
$[(Re(z-z_0))^2+(Im(z-z_0))^2]^{1/2}=\mid z-z_0\mid$
Dengan cara serupa
$\mid Im(z-z_0)\mid\leq\mid z-z_0\mid$.

-) $\lim\limits_{z\to 0} (z/\bar{z})$ tidak ada. Tentunya, kita punya :
      $\lim\limits_{z\to 0}\frac{z}{z_0}$ sepanjang sumbu x
      $=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+i.0}{x-i.0}=1$.
Sedangkan untuk sepanjang sumbu y
      $=\lim\limits_{y\to 0}\frac{0+iy}{0-iy}=-1$.

Teorema : Misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(xy)$, $z_0=x_0+iy_0$ dan $w_0=u_0+iv_0$. Maka $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=w_0$ jika dan hanya jika $\lim\limits_{x\to x_0,y\to y_0} u(x,y)=u_0$ dan $\lim\limits_{x\to x_0,y\to y_0} v(x,y)=v_0$.

Teorema : Jika $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=A$ dan $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=B$, maka
  (i) $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)\pm g(z)=A\pm B$,
  (ii) $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)g(z)=AB$, dan
  (iii) $\lim\limits_{z\to z_0} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B}$ dengan $B\neq 0$.

Teorema : Jika $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=w_0$ dan $\lim\limits_{w\to w_0} f(w)=A$ maka
$\lim\limits_{z\to z_0} f(g(z))=A=f\left(\lim\limits_{z\to z_0} g(z)\right)$.

Sekarang kita akan mendefinisikan limit yang melibatkan $\infty$. Untuk itu, kita perhatikan bahwa $z\to\infty$ berarti $\mid z\mid\to\infty$ hal serupa bahwa $f(z)\to\infty$ berarti $\mid f(z)\mid\to\infty$.

Pernyataan $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ berarti bahwa untuk setiap $M>0$ ada sebuah $\delta>0$ sehingga $0<\mid z-z_0\mid<\delta$ maka $\mid f(z)\mid>M$ dan ini eqivalen dengan $\lim\limits_{z\to z_0} \frac{1}{f(z)}=0$.
Pernyataan $\lim\limits_{z\to \infty} f(z)=w_0$ berarti bahwa untuk setiap $\epsilon>0$ ada sebuah $R>0$ sehingga $\mid z\mid>R$ maka $\mid f(z)-w_0\mid<\epsilon$ dan ini eqivalen dengan $\lim\limits_{z\to z_0} f(1/z)=w_0$.
Pernyataan $\lim\limits_{z\to \infty} f(z)=\infty$ berarti bahwa untuk setiap $M>0$ ada sebuah $R>0$ sehingga $\mid z\mid>R$ maka $\mid f(z)\mid>M$.

Contoh : 
 -) Karena $\frac{2z+3}{3z+2}=\frac{2+3/z}{3+2/z}$,

$\lim\limits_{z\to\infty}\frac{2z+3}{3z+2}=\frac{2}{3}$. Hal serupa juga $\lim\limits_{z\to\infty}\frac{2z+3}{3z^2+2}=0$ dan $\lim\limits_{z\to\infty}\frac{2z^2+3}{3z+2}=\infty$
Misalkan $f$ fungsi terdefinisi di daerah $z_0$. Maka, $f$ kontinu pada $z_0$ jika $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)$. Secara eqivalen $f$ kontinu pada $z_0$ jika untuk setiap diberikan $\epsilon>0$ terdapat $\delta>0$ sehingga
          $\mid z-z_0\mid <\delta\Longrightarrow\mid f(z)-f(z_0)\mid<\epsilon$
Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu pada himpunan $S$ jika dia kontinu pada setiap titik di $S$.
 -) Fungsi $f(z)=Re(z)$ dan $g(z)=Im(z)$ kontinu untuk semua $z$.
 -) Fungsi $f(z)=\mid z\mid$ kontinu untuk semua $z$. Untuk ini, misalkan diberikan $z_0$. Maka
$\begin{align*}\lim\limits_{z\to z_0}\mid z\mid&=\lim\limits_{z\to z_0}\sqrt{(Re(z))^2+(Im(z))^2}\\&=\sqrt{(Re(z_0))^2+(Im(z_0))^2}\\&=\mid z_0\mid\end{align*}$
Oleh karena itu,$f(z)$ kontinu pada $z_0$. Karena $z_0$ adalah sembarang, kami menyimpulkan bahwa $f(z)$ kontinu untuk semua $z$.
 -) Fungsi eksponensial $f(z)=e^z$ kontinu pada seluruh bidang kompleks karena $e^xcos\ y$ dan $e^xsin\ y$ keduanya kontinu untuk semua $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

Teorema : Jika $f(z)$ dan $g(z)$ kontinu pada $z_0$, maka begitu juga dengan
  (i) $f(z)\pm g(z)$,
  (ii) $f(z)g(z)$, dan
  (iii) $\frac{f(z)}{g(z)}$, dengan $g(z)\neq 0$
Sekarang misalkan $f:S\rightarrow W$, $S_1\subset S$, dan $W_1\subset W$. Invers dilambangkan dengan $f^{-1}(W_1)$ terdiri dari semua $z\in S$ sehingga $f(z)\in W_1$. Ini mengikuti bahwa $f(f^{-1}(W_1))\subset W_1$ dan $f(f^{-1}(S_1))\supset S_1$.
Menurut definisi, dalam hal fungsi kontinu invers dapat dikarakteristikkan sebagai berikut: Suatu fungsi adalah kontinu jika dan hanya jika invers dari setiap himpunan terbuka itu terbuka. Demikian pula, suatu fungsi kontinu jika dan hanya jika invers dari setiap himpunan tertutup itu tertutup.

Teorema : Misalkan $f:S\rightarrow\mathbb{C}$ kontinu. Maka,
  (i) Satu himpunan kompak dari $S$ dipetakan pada satu himpunan kompak di $f(S)$, dan
  (ii) Satu himpunan $S$ yang terhubung dipetakan ke himpunan $f(S)$ yang terhubung.

Mudah untuk melihat bahwa fungsi konstan dan fungsi $f(z)=z$ kontinu pada seluruh bidang. Jadi, kita menyimpulkan bahwa fungsi polinomial
      $P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n$
dimana $a_i$ konstan untuk $0\leq i\leq n$, juga kontinu pada seluruh bidang. Fungsi rasional dalam $z$, yang didefinisikan sebagai
     $\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n}{b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots+b_mz^m}$
Oleh karena itu kontinu pada setiap titik di mana penyebut tidak sama dengan nol.

Contoh :
Kita akan mencari limit ketika $z\rightarrow 2i$ dari fungsi
 $f_1(z)=z^2-2z+1$, $f_2(z)=\frac{z+2i}{z}$, $f_3(z)=\frac{z^2+4}{z(z-2i)}$
Karena $f_1(z)$ dan $f_2(z)$ kontinu pada $z=2i$, kita punya $\lim\limits_{z\to 2i} f_1(z)=f_1(2i)=-3-4i$, $\lim\limits_{z\to 2i} f_2(z)=f_2(2i)=2$. Karena $f_3(z)$ tidak terdefinisi pada saat $z=2i$, maka dia tidak kontinu. Namun untuk $z\neq 2i$ dan $z\neq 0$, kita punya
  $f_3(z)=\frac{(z+2i)(z-2i)}{z(z-2i)}=\frac{z+2i}{z}=f_2(z)$
Jadi $\lim\limits_{z\to 2i} f_3(z)=\lim\limits_{z\to 2i} f_2(z)=2$