Teorema Ketaksamaan Segitiga

Ketaksamaan Segitiga

Teorema : Jika $a$ dan $b$ keduanya bilangan real maka
                  $\mid a+b \mid \leq \mid a \mid +\mid b \mid$

Bukti : Terdapat 4 kemungkinan yaitu
   (a) Jika $a\geq 0$ dan $b\geq 0$ maka $\mid a+b \mid=a+b=\mid a\mid +\mid b\mid$.
   (b) Jika $a\leq 0$ dan $b\leq 0$ maka $\mid a+b \mid=-a+(-b)=\mid a\mid +\mid b\mid$.
   (c) Jika $a\geq 0$ dan $b\leq 0$ maka $a+b=\mid a\mid -\mid b\mid$.
   (d) Jika $a\leq 0$ dan $b\geq 0$ maka $a+b=-\mid a\mid +\mid b\mid$.
  Ketaksamaan segitiga berlaku juga dalam 2 kasus berikut yaitu

-)$\mid a+b \mid =\mid a \mid -\mid b\mid$ jika $\mid a\mid \geq \mid b\mid$.
-)$\mid a+b \mid =\mid b \mid -\mid a\mid$ jika $\mid b\mid \geq \mid a\mid$
Dari kasus diatas maka dapat disimpulkan
  $\mid a+b \mid \leq \mid a \mid +\mid b \mid$
Q.E.D.
Ketaksamaan segitiga muncul dalam berbagai bentuk konteks soal. Ketaksamaan ini sangat penting dalam mengerjakan ketaksamaan matematika. Kita akan sering menggunakannya.

Akibat : Jika $a$ dan $b$ keduanya bilangan real, maka
        $\mid a-b \mid \geq \mid \mid a \mid -\mid b \mid \mid$
dan
        $\mid a+b \mid \geq \mid \mid a \mid -\mid b \mid \mid$

Bukti : Gantikan $a$ dengan $a-b$ pada ketaksamaan segitiga maka didapatkan
         $\mid a \mid \leq \mid a-b \mid +\mid b \mid$
         $\mid a-b \mid \geq \mid a \mid -\mid b \mid$
Ganti $a$ dengan $b$ dan sebaliknya
         $\mid b-a \mid \geq \mid b \mid -\mid a \mid$
         $\mid a-b \mid \geq \mid b \mid -\mid a \mid$
Karena $\mid a-b \mid =\mid a+b \mid$, Karena
           $\mid \mid a\mid -\mid b \mid \mid =\mid a\mid -\mid b \mid$ jika $\mid a \mid \geq \mid b \mid$
           $\mid \mid a\mid -\mid b \mid \mid =\mid b\mid -\mid a \mid$ jika $\mid b \mid \geq \mid a \mid$
Maka kita peroleh dari

   $\mid a-b \mid \geq \mid b \mid -\mid a \mid$
dan
   $\mid a-b \mid \geq \mid a \mid -\mid b \mid$
yaitu
   $\mid a-b \mid \geq \mid \mid a \mid -\mid b \mid \mid$
Karena $\mid b \mid =\mid -b \mid$ ganti $b$ dengan $-b$
    $\mid a+b \mid \geq \mid \mid a \mid -\mid b \mid \mid$

Q.E.D.