Ruang Vektor

 Hello sobat semua...

Asalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh

Lama ya.. admin tidak update artikel lagi. Di kesempatan ini admin akan membahas tentang ruang vektor. Ruang vektor didapat ketika anda sudah mengampu mata kuliah aljabar linear elementer. Sudahkah anda mengenalnya?? Baiklah kita langsung ke pembahasannya ya..

Misalkan $V$ merupakan sebarang himpunan tak kosong dimana dua operasi berikut didefinisikan :

-) Operasi penjumlahan

-) Operasi perkalian skalar

Jika aksioma berikut dipenuhi oleh semua $u,v,w\in V$ dan semua skalar $k$ dan $l$, maka $V$ disebut sebagai ruang vektor dan objek di $V$ disebut vektor.

Apa saja aksiomanya???

Aksioma 1 : Jika $u$ dan $v$ objek di $V$ maka $u+v$ juga di $V$.

Aksioma 2 : $u+v=v+u$

Aksioma 3 : $u+(v+w)=(u+v)+w$

Aksioma 4 : Ada $0$ di $V$, kita sebut vektor nol dari $V$, sedemikian sehingga $u+0=0+u=u$, untuk setiap $u$ di $V$

Aksioma 5 : Untuk setiap $u$ di $V$, ada $-u$ di $V$, sedemikian sehingga $u+(-u)=(-u)+u=0$

Aksioma 6 : Jika $k$ sebarang skalar dan $u$ sebarang vektor di $V$, maka $ku$ di $V$

Aksioma 7 : $k(u+v)=ku+kv$

Aksioma 8 : $(k+l)u=ku+lu$

Aksioma 9 : $k(lu)=(kl)u$

Aksioma 10 : $1u=u$

Contoh :

Tunjukan bahwa $V$ merupakan ruang vektor dimana $V$ adalah himpunan matriks $2\times 2$ yang berbentuk $\begin{bmatrix}a & 0\\ 0& b\end{bmatrix}$

Jawab : -) Akan ditunjukan bahwa jika $u$ dan $v$ objek di $V$ maka $u+v$ juga di $V$. Yakni ambil $u,v\in V$ sehingga dapat dimisalkan $u=\begin{bmatrix} a_1 & 0\\ 0 & b_1\end{bmatrix}$ dan $v=\begin{bmatrix}a_2 & 0\\ 0 & b_2\end{bmatrix}$. Kita dapatkan $u+v=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\0 & b_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a_2 & 0\\ 0 & b_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1+a_2 & 0\\ 0 & b_1+b_2\end{bmatrix}$. Jadi, $u+v\in V$.

-) Akan ditunjukan bahwa jika $u$ dan $v$ objek di $V$ maka $u+v=v+u$. Jelas karena $V$ merupakan matriks maka penjumlahannya bersifat komutatif.

-) Mudah ditunjukkan juga bahwa $u+(v+w)=(u+v)+w$

-) Pilih $0=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\in V$ sehingga untuk setiap $u=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1\end{bmatrix}\in V$ berlaku $u+0=0+u=u$

-) Akan ditunjukan bahwa untuk setiap $u$ di $V$, ada $-u$ di $V$, sedemikian sehingga $u+(-u)=(-u)+u=0$. Ambil sebarang $u\in V$. Misalkan $u=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1\end{bmatrix}$. Pilih $-u=\begin{bmatrix} -a_1 & 0\\ 0 & -b_1 \end{bmatrix}\in V$ sehingga dapat dicek bahwa $u+(-u)=(-u)+u=0$.

-) Akan ditunjukan bahwa jika $k$ sebarang skalar dan $u$ sebarang vektor di $V$, maka $ku$ di $V$. Ambil sebarang $k$ skalar dan $u\in V$. Misalkan $u=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}$. Kita punya bahwa $ku=k\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_1 & 0\\ 0 & kb_1\end{bmatrix}$. Jadi, $ku\in V$

-) Ambil sebarang $k$ skalar dan $u,v\in V$. Misalkan $u=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}$ dan $v=\begin{bmatrix}a_2 & 0\\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$. Perhatikan bahwa

$\begin{align*}k(u+v)&=k\left(\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_2 &0 \\ 0 & b_2\end{bmatrix}\right)\\ &=k\left(\begin{bmatrix}a_1+a_2 & 0\\ 0 & b_1+b_2 \end{bmatrix}\right)\\ &=\begin{bmatrix}k(a_1+a_2) & 0\\ 0 & k(b_1+b_2)\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} ka_1+ka_2 & 0\\ 0 & kb_1+kb_2\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}ka_1 & 0\\ 0 & kb_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} ka_2 & 0\\ 0 & kb_2 \end{bmatrix}\\ &=k\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}+k\begin{bmatrix} a_2 & 0\\ 0 & b_2 \end{bmatrix}\\ &=ku+kv \end{align*}$

Jadi $k(u+v)=ku+kv$ untuk sebarang skalar $k$ dan $u,v\in V$.

-) Ambil sebarang $k,l$ skalar dan $u\in V$. Misalkan $u=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}$. Perhatikan bahwa

$\begin{align*}(k+l)u&=(k+l)\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} (k+l)a_1 & 0\\ 0 & (k+l)b_1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}ka_1+la_1 & 0\\ 0 & kb_1+lb_1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}ka_1 & 0\\ 0 & kb_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}la_1 & 0\\ 0 & lb_1\end{bmatrix}\\ &=k\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}+l\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}\\ &=ku+lu\end{align*}$

-) Ambil sebarang $k,l$ skalar dan $u\in V$. Misalkan $u=\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}$. Perhatikan bahwa

$\begin{align*}k(lu)&=k\begin{bmatrix} la_1 & 0\\ 0 & lb_1\end{bmatrix}\\ &=kl\begin{bmatrix}a_1 & 0\\ 0 & b_1 \end{bmatrix}\\ &=(kl)u\end{align*}$

-) Pilih matriks $1=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in V$ sehingga $1u=u$ untuk $u\in V$.