Pembahasan Soal UTS Aljabar Linear Elementer Tahun 2023

Hallo pada kesempatan kali ini saya akan membahas soal UTS Aljabar Linear Elementer Tahun 2022-2023

1. Cari basis untuk ruang null, ruang baris, dan ruang kolom untuk matriks $A$ berikut.

$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 0\\  2 & 5 & 1 & 1 & 0\\ 3 & 7 & 2 & 2 & -2\\ 4 & 9 & 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

2. Didefinisikan fungsi $f:R^3\to R^2$ dengan $f(a,b,c)=(a+b,b+c+1)$. Tentukan apakah $f$ merupakan transformasi linear atau bukan. Beri alasan.

 3. Cari semua nilai eigen dari matriks $A$ berikut.

$A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Selanjutnya tentukan basis dan dimensi dari setiap ruang eigen yang terbentuk.

4. Tunjukan bahwa tiga vektor berikut $\overrightarrow{v_1}=(1,2,3,4)$, $\overrightarrow{v_2}=(0,1,0,-1)$, dan $\overrightarrow{v_3}=(1,3,3,3)$ membentuk himpunan yang bebas linear di $R^4$

5. Berikan contoh matriks $A$ dan $B$ dimana $\text{rank}(A)=\text{rank}(B)$ namun $\text{rank}(A^2)\neq\text{rank}(B^2)$

Jawab :

1. Dapat dicari matriks eselon baris tereduksi dari matriks $A$ adalah

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 & -1\\  0 & 1 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Karenanya untuk mendapatkan ruang null $A$ kita selesaikan persamaan matriks berikut.

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 & -1\\  0 & 1 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Misalkan $x_3=t$, $x_5=s$. Kita punya $x_1=-3t+s$, $x_2=t-2s$, dan $x_4=2s$. Oleh karenanya

$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-3t+s \\ t-2s \\ t \\ 2s \\ s \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Basis ruang null $\left\{\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi sebelumnya kita peroleh bahwa ruang baris dari matriks $A$ adalah

$\left\{\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\right\}$

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi sebelumnya kita tahu bahwa pivotnya berada pada kolom $1,3,4$. Jadi, ruang kolom dari matriks $A$ adalah 

$\left\{\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\  1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\  1 \\ 2\\ -1\end{pmatrix}\right\}$

2. Ambil $(a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)\in R^3$ dan $k\in R$. Perhatikan bahwa $f(a_1,b_1,c_1)+f(a_2,b_2,c_2)=(a_1+b_1,b_1+c_1+1)+(a_2+b_2,b_2+c_2+1)=(a_1+a_2+b_1+b_2,b_1+b_2+c_1+c_2+2)$

Sedangkan $f(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)=(a_1+a_2+b_1+b_2,b_1+b_2+c_1+c_2+1)$

Karena $f(a_1,b_1,c_1)+f(a_2,b_2,c_2)\neq f(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)$ maka $f$ bukan merupakan transformasi linear.

3. Jelas karena $A$ merupakan matriks identitas maka $1$ adalah satu-satunya nilai eigen dari $A$. Basis ruang eigennya adalah $\left\{\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ dimensinya adalah $2$.

4. Sepertinya soal tersebut salah. Harusnya tiga vektor tersebut tidak bebas linear karena $\overrightarrow{v_1}=$\overrightarrow{v_3}-$\overrightarrow{v_2}$

5. Pilih $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\  0 & 0\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}0 & 1\\  0 & 0\end{pmatrix}$. Kita tahu bahwa $\text{rank}(A)=\text{rank}(B)=1$. Akan tetapi, $A^2=\begin{pmatrix}1 & 0\\  0 & 0\end{pmatrix}$ dan $B^2=\begin{pmatrix}0 & 0\\  0 & 0\end{pmatrix}$ dimana $1=\text{rank}(A^2)\neq \text{rank}(B)=0$