Pembahasan Tugas Aljabar Linear Elementer - Diagonalisasi Matriks

Oke saya hasbiansyah cahyadi dan pada blog kali ini akan dibahas tugas mata kuliah aljabar linear elementer terkait materi diagonalisasi matriks.

Baiklah langsung saja simak pembahasannya berikut.

1. Carilah matriks $P$ sedemikian sehingga $A=\left[\begin{matrix}3 & -2 & 0\\ -2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]$ dapat didiagonalkan.

2. Misalkan $A=\left[\begin{matrix}4 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$

    a. Tentukan nilai eigen dari $A$

    b. Untuk setiap nilai eigen $\lambda$, Carilah rank dari matriks $\lambda I-A$

    c. Apakah matruks $A$ dapat didiagonalkan? Tunjukkan.

3. Tunjukkan bahwa jika $A$ dapat didiagonalkan maka

    $A^k=CD^kC^{-1}$

Pembahasan

1. Pertama kita akan mencari nilai eigen untuk matriks $A$ yaitu $det(A-I\lambda)=0$.

 $\left|\begin{matrix}3-\lambda & -2 & 0\\ -2 & 3-\lambda & 0\\ 0 & 0 & 5-\lambda\end{matrix}\right|=0$

Persamaan karakteristik : $(3-\lambda)^2(5-\lambda)-(-2)(-2)(5-\lambda)=0$

$(5-\lambda)\left((3-\lambda)^2-4\right)=0$

$(5-\lambda)^2(1-\lambda)=0$

$\lambda =1\ \text{atau}\ 5$

• Untuk $\lambda =1$

$(A-I)x=0$

$\left[\begin{matrix}2 & -2 & 0\\ -2 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]$

$2x_1-2x_2=0$

$4x_3=0$

Didapat $x_1=t$, $x_2=t$, $x_3=0$

Vektor eigen : $t\left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ 0\end{matrix}\right]$

Basis : $\left\{\left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ 0\end{matrix}\right]\right\}$

• Untuk $\lambda =5$

$(A-5I)x=0$

$\left[\begin{matrix}-2 & -2 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]$

$-2x_1-2x_2=0$

Didapat $x_1=t$, $x_2=-t$, $x_3=s$

Vektor eigen : $t\left[\begin{matrix} 1\\ -1\\ 0\end{matrix}\right]+s\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\end{matrix}\right]$

Basis : $\left\{\left[\begin{matrix} 1\\ -1\\ 0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\end{matrix}\right]\right\}$

Sehingga bisa kita peroleh matriks $P=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

2. a. $det(\lambda I-A)=0$.

 $\left|\begin{matrix}\lambda -4 & 0 & -1\\ -2 & \lambda -3 & -2\\ -1 & 0 & \lambda -4\end{matrix}\right|=0$

Persamaan karakteristik : $(\lambda -4)^2(\lambda -3)-(-1)(\lambda -3)(-1)=0$

$(\lambda -3)\left((\lambda -4)^2-1\right)=0$

$(\lambda -3)^2(\lambda -5)=0$

$\lambda =3\ \text{atau}\ 5$

    b. Untuk $\lambda =3$

$\lambda I-A=3I-A$

$=\left[\begin{matrix}-1 & 0 & -1\\ -2 & 0 & -2\\ -1 & 0 & -1\end{matrix}\right]$

Dengan proses OBE diperoleh matriks eselon baris bagi $3I-A$ adalah

$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$

Jadi, didapat $rank(3I-A)=1$

    Untuk $\lambda =5$

$\lambda I-A=5I-A$

$=\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\ -2 & 2 & -2\\ -1 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

Dengan proses OBE diperoleh matriks eselon baris bagi $5I-A$ adalah

$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$

Jadi, didapat $rank(5I-A)=2$

    c. Ya matriks $A$ dapat didiagonalkan. Karena kita dapat menemukan matriks

$C=\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

sedemikian sehingga 

$C^{-1}AC=D=\left[\begin{matrix}5 & 0 & 5\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$ 

yang merupakan matriks diagonal

3. Jika $A$ matriks yang dapat didiagonalkan maka ada matriks $C$ yang memiliki invers sehingga berlaku

$C^{-1}AC=D$ dengan $D$ matriks diagonal

$A=CDC^{-1}$

$A^k=\left(CDC^{-1}\right)^k$

$A^k=\left(CDC^{-1}\right)\left(CDC^{-1}\right)\cdots \left(CDC^{-1}\right)$

Perhatikan bahwa $C^{-1}C=I$ sehingga diperoleh

$A^k=CD^kC^{-1}$ (q.e.d)