Garis Tinggi, Garis Berat, Garis Bagi dan Garis Sumbu Pada Segitiga
garis tinggi segitiga, garis berat segitiga, garis bagi segitiga, dan garis sumbu segitiga. Yang tentunya juga hal ini juga sering menjadi suatu problem di dalam olimpiade matematika. Baiklah sobat kita langsung saja melihat pembahasannya.
Hello sobat... Tahukah kalian bahwa terdapat garis garis istimewa pada suatu segitiga, dan pada blog ini akan dijelaskan tentang

Garis Tinggi (Altitude)
Definisi Garis Tinggi suatu segitiga yaitu garis yang melalui titik sudut suatu segitiga dan tegak lurus dengan sisi yang dihadapannya.

Teorema Garis Tinggi suatu segitiga : Misalkan AA′,BB′,CC′ menyatakan garis tinggi segitiga ABC, maka garis garis tinggi tersebut AA′,BB′,CC′ konkuren (bertemu di satu titik).
Buktinya :

Kasus untuk ABC merupakan segitiga siku siku sangat jelas dan tidak perlu dibuktikan. Jadi, kita cukup menunjukkannya untuk kasus ABC bukan merupakan segitiga siku siku.
Mari kita buktikan teorema tersebut untuk kasus ABC merupakan segitiga lancip. Kita punya
AA′BA′=tan B
AA′CA′=tan C
Maka kita dapatkan
CA′BA′=tan Btan C
Dengan cara serupa kita dapatkan juga
AB′CB′=tan Ctan A
BC′AC′=tan Atan B
Akibatnya,
CA′BA′.AB′CB′.BC′AC′=tan Btan C.tan Ctan A.tan Atan B=1
Menurut dalil de ceva, AA′,BB′,CC′ konkuren.
Kemudian, akan dibuktikan untuk kasus segitiga ABC tumpul. Tanpa mengurangi keumuman soal, misalkan 90<∠C<180. Kita punya
AA′BA′=tan B
AA′CA′=tan (180∘−C)=−tan C
Kita juga punya
BB′CB′=tan (180∘−C)=−tan C
BB′AB′=tan A
CC′AC′=tan A
CC′BC′=tan B
Maka dari itu kita dapatkan
CA′BA′.AB′CB′.BC′AC′=tan B−tan C.(−tan Ctan A).tan Atan B=1
(Terbukti)
Titik potong dari garis garis tinggi segitiga tersebut dinamakan titik tinggi atau orthocenter. Kita juga bisa menghitung dengan menggunakan teorema stewart dan atau teorema phytagoras untuk mencari nilainya
Garis Berat (Median)
Definisi Garis Berat suatu segitiga yaitu garis yang melalui titik sudut suatu segitiga dan membagi sisi dihadapan sudut tersebut sama panjang atau dengan kata lain melalui titik tengah sisi tersebut. Maka dari itu setiap segitiga itu pasti punya garis berat.

Teroema Garis Berat suatu segitiga : Jika ABC suatu segitiga dan A′,B′,C′ berturut turut menyatakan titik tengah sisi sisi BC,AC,AB, maka garis garis berat tersebut AA′,BB′,CC′ konkuren (bertemu di satu titik).
Dengan mudah hal tersebut bisa kita buktikan dengan menggunakan dalil de ceva. Titik potong tersebut disebut dengan titik berat suatu segitiga. Karena garis garis berat tersebut bertemu disatu titik artinya garis garis tersebut membagi segitiga menjadi enam bagian. Dimana setiap garis berat membagi garis berat lainnya menjadi dua bagian. Didapatkan teorema berikut ini.
Teroema Garis Berat suatu segitiga : Misalkan AA′,BB′,CC′ adalah tiga garis berat segitiga ABC yang berpotongan di titik berat I Maka segitiga AIB′,AIC′,BIA′,BIC′,CIA′,CIB′ memiliki luas yang sama.
Buktinya :
Karena A′,B′,C′ berturut turut berada pada tengah sisi BC,AC,AB. Kita punya bahwa Luas△BIA′=Luas△CIA′, Luas△CIB′=Luas△AIB′, dan Luas△AIC′=Luas△BIC′.
Kita juga punya Luas△ABA′=Luas△ACA′. sehingga
sehingga Luas△AIC′=Luas△AIB′. Dengan cara yang sama diperoleh Luas△BIC′=Luas△BIA′. dan kesimpulannya keenam segitiga memiliki luasan yang sama.
Teorema Garis Berat suatu segitiga : Misalkan AA′,BB′,CC′ adalah tiga garis berat segitiga ABC yang berpotongan di titik berat I. Maka
Teroema Garis Berat suatu segitiga : Misalkan AA′,BB′,CC′ adalah tiga garis berat segitiga ABC yang berpotongan di titik berat I Maka segitiga AIB′,AIC′,BIA′,BIC′,CIA′,CIB′ memiliki luas yang sama.
Buktinya :

Kita juga punya Luas△ABA′=Luas△ACA′. sehingga
2Luas△AIC′=Luas△AIB=Luas△ABA′−Luas△BIA′=Luas△ACA′−Luas△CIA′=Luas△AIC=2Luas△AIB′
sehingga Luas△AIC′=Luas△AIB′. Dengan cara yang sama diperoleh Luas△BIC′=Luas△BIA′. dan kesimpulannya keenam segitiga memiliki luasan yang sama.
Teorema Garis Berat suatu segitiga : Misalkan AA′,BB′,CC′ adalah tiga garis berat segitiga ABC yang berpotongan di titik berat I. Maka
AIIA′=BIIB′=CIIC′=2
Coba kalian buktikan!!!
Garis Bagi Sudut (Bisector)
Definisi Garis Bagi Sudut suatu segitiga yaitu garis yang membagi sudut suatu segitiga menjadi dua bagian yang sama besar. Di dalam suatu segitiga ada yang dinamakan garis bagi dalam sudut segitiga dan garis bagi luar sudut segitiga. Garis bagi dalam sudut segitiga yaitu membagi sudut segitiga tersebut sehingga garis ini berada di dalam segitiga, sedangkan garis bagi luar segitiga itu membagi sudut luar segitiga atau sudut berpelurus dari sudut segitiga sehingga garis ini berada di luar segitiga tersebut.

Teorema Garis Bagi Sudut suatu segitiga : Misalkan AA′,BB′,CC′ adalah garis garis bagi sudut △ABC. Maka
A′BA′C=cb,B′CB′A=ac,C′AC′B=ba
Silahkan dibuktikan!!!
Teorema Garis Bagi Sudut suatu segitiga : Misalkan AA′,BB′,CC′ menyatakan garis garis bagi sudut segitiga ABC, maka garis garis bagi tersebut AA′,BB′,CC′ konkuren (bertemu di satu titik).
Silahkan dibuktikan!!!
Titik perpotongan antara garis bagi disebut titik bagi segitiga. Dan juga merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut,
Garis Sumbu (Perpendicular Bisector)
Nahh juga tak kalah pentingnya nihh yaitu Garis Sumbu suatu segitiga. Definisi Garis Sumbu suatu segitiga yaitu perpaduan antara garis berat dan garis tinggi yakni seperti berikut. Garis Sumbu suatu segitiga adalah garis yang tegak lurus sisi segitiga sekaligus melalui titik tengah sisi tersebut, garis sumbu ini tidak harus melewati sudut suatu segitiga.

Teorema Garis Sumbu suatu segitiga : Misalkan IA,IB,IC adalah garis garis sumbu segitiga ABC maka IA,IB,IC konkuren.
Silahkan Dibuktikan!!!
Titik perpotongan antara garis sumbu disebut titik sumbu segitiga. Perhatikan bahwa jika sebarang titik dipilih pada garis sumbu segitiga maka titik tersebut berjarak sama terhadap titik pangkal dari sisi yang tegak lurus dengan garis sumbut tersebut. Dengan begitu titik sumbu segitiga juga merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga tersebut,