Processing math: 100%

Widget HTML #1

Dalil de Ceva dengan Pembuktiannya

Oke guys pada postingan kita kali ini akan membahas sedikit terkait Teorema yang cukup penting dalam segitiga dan biasanya sering muncul dalam olimpiade yaitu teorema ceva atau dalil de ceva.

Definisi
: Diberikan suatu segitiga ABC. Tarik garis dari A sehingga memotong BC di X. Tarik garis dari B sehingga memotong AC di Y. Tarik garis dari C sehingga memotong AB di Z dan ketiga garis tersebut bertemu di satu titik maka berlaku dalil de ceva.

Dalil de ceva :
  AZZB.BXXC.CYYA=1

Bukti :
Misalkan titik pertemuan ketiga garis tersebut adalah O. Definisikan notasi [M] adalah Luas dari M.
Perhatikan segitiga CAZ dan CZB maka dengan memandang bahwa AZ dan ZB adalah alas dari segitiga CAZ dan CZB, maka
AZZB=[CAZ][CZB]
Perhatikan pula segitiga OAZ dan OZB maka dengan memandang bahwa AZ dan ZB adalah alas dari segitiga OAZ dan OZB, maka
AZZB=[OAZ][OZB]
Kita punya bahwa
AZZB=[CAZ][CZB]=[OAZ][OZB]

Lemma bahwa ab=cd=acbd dengan b0,c0,bd
Bukti lemma : Karena ab=cd
ad=bc
addc=bcdc
d(ac)=c(bd)
acbd=cd
Terbukti ab=cd=acbd dengan b0,c0,bd

Perhatikan
AZZB=[CAZ][CZB]=[OAZ][OZB]=[CAZ][OAZ][CZB][OZB]=[CAO][CBO]
Jadi kita peroleh AZZB=[CAO][CBO]
Dengan cara yang sama kita juga peroleh
BXXC=[ABO][ACO]
CYYA=[BCO][BAO]

Maka
AZZB.BXXC.CYYA=[CAO][CBO].[ABO][ACO].[BCO][BAO]=1

Q.E.D