Dalil de Ceva dengan Pembuktiannya

Oke guys pada postingan kita kali ini akan membahas sedikit terkait Teorema yang cukup penting dalam segitiga dan biasanya sering muncul dalam olimpiade yaitu teorema ceva atau dalil de ceva.

Definisi : Diberikan suatu segitiga $ABC$. Tarik garis dari $A$ sehingga memotong $BC$ di $X$. Tarik garis dari $B$ sehingga memotong $AC$ di $Y$. Tarik garis dari $C$ sehingga memotong $AB$ di $Z$ dan ketiga garis tersebut bertemu di satu titik maka berlaku dalil de ceva.

Dalil de ceva :
  $\frac{AZ}{ZB}.\frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}=1$

Bukti :
Misalkan titik pertemuan ketiga garis tersebut adalah $O$. Definisikan notasi $[M]$ adalah Luas dari $M$.

Perhatikan segitiga $CAZ$ dan $CZB$ maka dengan memandang bahwa $AZ$ dan $ZB$ adalah alas dari segitiga $CAZ$ dan $CZB$, maka
$\frac{AZ}{ZB}=\frac{[CAZ]}{[CZB]}$
Perhatikan pula segitiga $OAZ$ dan $OZB$ maka dengan memandang bahwa $AZ$ dan $ZB$ adalah alas dari segitiga $OAZ$ dan $OZB$, maka
$\frac{AZ}{ZB}=\frac{[OAZ]}{[OZB]}$
Kita punya bahwa
$\frac{AZ}{ZB}=\frac{[CAZ]}{[CZB]}=\frac{[OAZ]}{[OZB]}$

Lemma bahwa $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$ dengan $b\neq 0,c\neq 0,b\neq d$
Bukti lemma : Karena $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
$ad=bc$
$ad-dc=bc-dc$
$d(a-c)=c(b-d)$
$\frac{a-c}{b-d}=\frac{c}{d}$
Terbukti $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$ dengan $b\neq 0,c\neq 0,b\neq d$

Perhatikan
$\begin{align}\frac{AZ}{ZB}&=\frac{[CAZ]}{[CZB]}=\frac{[OAZ]}{[OZB]}\\ &=\frac{[CAZ]-[OAZ]}{[CZB]-[OZB]}\\ &=\frac{[CAO]}{[CBO]}\end{align}$
Jadi kita peroleh $\frac{AZ}{ZB}=\frac{[CAO]}{[CBO]}$
Dengan cara yang sama kita juga peroleh
$\frac{BX}{XC}=\frac{[ABO]}{[ACO]}$
$\frac{CY}{YA}=\frac{[BCO]}{[BAO]}$

Maka
$\frac{AZ}{ZB}.\frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}=
\frac{[CAO]}{[CBO]}.\frac{[ABO]}{[ACO]}.\frac{[BCO]}{[BAO]}=1$

Q.E.D