Dalil Stewart dan Pembuktiannya

Oke guys pada postingan kita kali ini akan membahas sedikit terkait Teorema yang cukup penting dalam segitiga dan biasanya sering muncul dalam olimpiade yaitu teorema stewart.

Teorema Stewart : Dalam $\triangle ABC$, titik $D$ terletak pada $AB$, maka berlaku $CD^2\times AB=AC^2\times BD+BC^2\times AD-AD\times BD\times AB$

Bukti :

Berdasarkan aturan cosinus diperoleh

$\begin{align}BC^2=BD^2+CD^2-2BD.CD.\cos \theta\end{align}$

$\begin{align}AC^2=AD^2+CD^2+2AD.CD.\cos \theta\end{align}$

Dengan mengalikan persaman pertama dengan $AD$ dan persamaan kedua dengan $BD$ diperoleh

$\begin{align}BC^2\times AD=BD^2\times AD+CD^2\times AD-2BD.CD.\cos \theta\times AD\end{align}$

$\begin{align}AC^2\times BD=AD^2\times BD+CD^2\times BD+2AD.CD.\cos \theta\times BD\end{align}$

Jumlahkan kedua persamaan diatas diperoleh

$\begin{align}\left(BC^2+AC^2\right)BD=AD\times BD\times AB+CD^2\times AB\end{align}$

Yang ekivalen dengan

$\begin{align}CD^2\times AB=AC^2\times BD+BC^2\times AD-AD\times BD\times AB\end{align}$

Terbukti.

Perhatikan bahwa untuk kasus dimana $AC=BC$

maka berlaku 

$\begin{align}CD^2=AC^2-AD\times BD\end{align}$