Bahas Tuntas Soal KN-Mipa PT Matematika Tahun 2020
KN-Mipa PT atau dulu dikenal sebagai ON-Mipa PT adalah Olimpiade Mipa bergengsi tingkat Perguruan Tinggi yang diadakan oleh Dikti dimana bidang yang dilombakan ada matematika, fisika, kimia, dan biologi. Seleksinya melalui beberapa tahap, tahap pertama adalah seleksi Universitas, kemudian tahap kedua adalah seleksi Wilayah, dan tahap ketiga seleksi Nasional, dimana nantinya akan ada seleksi Internasional dan untuk yang matematika yaitu IMC atau International Mathematics Competition. Oke saat ini saya mencoba membahas soal KN-Mipa Matematika. Berikut adalah soal Seleksi KN-MIPA Matematika Tahun 2020 tingkat Universitas milik teman saya dan saya mencoba untuk membahasnya. Jika terdapat kesalahan kalian bisa mengoreksinya dengan menulisnya di kolom komentar, masukan yang mendukung blog ini sangat di harapkan. Oke silahkan simak soalnya.
Berikan penjelasan untuk tiap-tiap langkah mencari solusi dari soal-soal berikut.
$\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=\frac{d}{dx}[x(1-sin\ \pi x)]$
Fungsi $f$ yang dimaksud adalah
Jawab : Perhatikan ekspresi ruas kanan
$\begin{align}\frac{d}{dx}[x(1-sin\ \pi x)]&=1(1-sin\ \pi x)+x(-\pi cos\ \pi x)\\ &=1-sin\ \pi x-\pi xcos\ \pi x\end{align}$
Sehingga
$\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=1-sin\ \pi x-\pi xcos\ \pi x$
$\frac{d}{dx}\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=\frac{d}{dx}(1-sin\ \pi x-\pi xcos\ \pi x)$
$\frac{d}{dx}\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=-\pi cos\ \pi x-\pi cos\ \pi x+\pi^2 x sin\ \pi x$
misalkan $y=-x^2$ maka $dy=-2x dx$ maka berdasarkan aturan rantai
$\frac{d}{dy}[\int_{y}^0 f(t) dt]\frac{dy}{dx}=-\pi cos\ \pi x-\pi cos\ \pi x+\pi^2 x sin\ \pi x$
$-f(y)(-2x)=-\pi cos\ \pi x-\pi cos\ \pi x+\pi^2 x sin\ \pi x$
$\begin{align}&f(y)(2\pm\sqrt{-y})\\ &\ =-\pi cos\ (\pi (\pm\sqrt{-y}))-\pi cos\ (\pi (\pm\sqrt{-y}))\\ &\, \ +\pi^2 (\pm\sqrt{-y})sin\ (\pi (\pm\sqrt{-y}))\\ &\ =-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})\\ &\, \, \pm\pi^2\sqrt{-y}sin\ (\pi \sqrt{-y})\end{align}$
$f(y)=\frac{-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})\pm\pi^2\sqrt{-y}sin\ (\pi \sqrt{-y})}{2\pm\sqrt{-y}}$
$f(x)=\frac{-\pi cos\ (\pi \sqrt{-x})-\pi cos\ (\pi \sqrt{-x})\pm\pi^2\sqrt{-x}sin\ (\pi \sqrt{-x})}{2\pm\sqrt{-x}}$
Jawab : Misalkan $0 ≤ x_1,x_2,x_3,x_4 ≤ 7$ menyatakan banyak bendera pada tiang bendera $1,2,3,4$ masing-masing. Maka
$x_1+x_2+x_3+x_4=7$
Misalkan
$y_1=x_1+1$
$y_2=x_2+1$
$y_3=x_3+1$
$y_4=x_4+1$
maka $1 ≤ y_1,y_2,y_3,y_4 ≤ 8$
dan $y_1+y_2+y_3+y_4=11$
Banyaknya solusi bisa dihitung dengan kombinasi yaitu $C(11-1,4-1)=\binom{10}{3}=\frac{10.9.8}{3.2.1}=120$
Jawab : Matriks bilangan bulat adalah matriks yang semua entri-entrinya merupakan bilangan bulat. Maka $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa $b+c=0$ atau $c=-b$ Sehingga
$\begin{align}A^2 &=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}a & b\\ -b & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b\\ -b & d\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}a^2-b^2 & ab+bd\\ -ba-db & -b^2+d^2\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\end{align}$
Agar kedua matriks sama maka entri yang terletak pada baris yang sama kolom yang sama juga harus sama. Diperoleh persamaan
$(a+b)(a-b)=1.......(1)$
$b(a+d)=0.......(2)$
$-b(a+d)=0.......(3)$
$(b+d)(-b+d)=1.....(4)$
persamaan (2) dan (3) ekivalen, dan jika $b=0$ maka $c=0$ dan $a^2=1$ dan $d^2=1$. Untuk kasus ini ada 2 kemungkinan.
Jika $a=-d$ maka perhatikan persamaan pertama karena $a,b$ bilangan bulat maka $a+b$ dan $a-b$ bilangan bulat. Sehingga persamaan (1) benar jika
$a+b=a-b=1$ terjadi ketika $b=0$ di mana sudah ada pada kasus sebelumnya. Jadi, banyak nya matriks yang memenuhi adalah $4$
Pembahasan Soal KN-MIPA PT Matematika Tahun 2020
Berikan penjelasan untuk tiap-tiap langkah mencari solusi dari soal-soal berikut.
1. Analisis
Diketahui $f$ adalah sebuah fungsi kontinu pada interval $[-\infty,0]$ dan$\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=\frac{d}{dx}[x(1-sin\ \pi x)]$
Fungsi $f$ yang dimaksud adalah
Jawab : Perhatikan ekspresi ruas kanan
$\begin{align}\frac{d}{dx}[x(1-sin\ \pi x)]&=1(1-sin\ \pi x)+x(-\pi cos\ \pi x)\\ &=1-sin\ \pi x-\pi xcos\ \pi x\end{align}$
Sehingga
$\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=1-sin\ \pi x-\pi xcos\ \pi x$
$\frac{d}{dx}\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=\frac{d}{dx}(1-sin\ \pi x-\pi xcos\ \pi x)$
$\frac{d}{dx}\int_{-x^2}^0 f(t)\ dt=-\pi cos\ \pi x-\pi cos\ \pi x+\pi^2 x sin\ \pi x$
misalkan $y=-x^2$ maka $dy=-2x dx$ maka berdasarkan aturan rantai
$\frac{d}{dy}[\int_{y}^0 f(t) dt]\frac{dy}{dx}=-\pi cos\ \pi x-\pi cos\ \pi x+\pi^2 x sin\ \pi x$
$-f(y)(-2x)=-\pi cos\ \pi x-\pi cos\ \pi x+\pi^2 x sin\ \pi x$
$\begin{align}&f(y)(2\pm\sqrt{-y})\\ &\ =-\pi cos\ (\pi (\pm\sqrt{-y}))-\pi cos\ (\pi (\pm\sqrt{-y}))\\ &\, \ +\pi^2 (\pm\sqrt{-y})sin\ (\pi (\pm\sqrt{-y}))\\ &\ =-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})\\ &\, \, \pm\pi^2\sqrt{-y}sin\ (\pi \sqrt{-y})\end{align}$
$f(y)=\frac{-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})-\pi cos\ (\pi \sqrt{-y})\pm\pi^2\sqrt{-y}sin\ (\pi \sqrt{-y})}{2\pm\sqrt{-y}}$
$f(x)=\frac{-\pi cos\ (\pi \sqrt{-x})-\pi cos\ (\pi \sqrt{-x})\pm\pi^2\sqrt{-x}sin\ (\pi \sqrt{-x})}{2\pm\sqrt{-x}}$
2. Kombinatorik
Tujuh buah bendera dengan motif berbeda akan dipasang pada $4$ tiang bendera. Pada masing-masing tiang bendera bisa dipasang sebanyak nol, satu atau lebih dari satu bendera. Banyaknya cara memasang bendera tersebut adalahJawab : Misalkan $0 ≤ x_1,x_2,x_3,x_4 ≤ 7$ menyatakan banyak bendera pada tiang bendera $1,2,3,4$ masing-masing. Maka
$x_1+x_2+x_3+x_4=7$
Misalkan
$y_1=x_1+1$
$y_2=x_2+1$
$y_3=x_3+1$
$y_4=x_4+1$
maka $1 ≤ y_1,y_2,y_3,y_4 ≤ 8$
dan $y_1+y_2+y_3+y_4=11$
Banyaknya solusi bisa dihitung dengan kombinasi yaitu $C(11-1,4-1)=\binom{10}{3}=\frac{10.9.8}{3.2.1}=120$
3. Aljabar
Banyaknya matriks bilangan bulat $A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$ yang memenuhi $A^2=I$ dan $b+c=0$ adalahJawab : Matriks bilangan bulat adalah matriks yang semua entri-entrinya merupakan bilangan bulat. Maka $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa $b+c=0$ atau $c=-b$ Sehingga
$\begin{align}A^2 &=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}a & b\\ -b & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b\\ -b & d\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}a^2-b^2 & ab+bd\\ -ba-db & -b^2+d^2\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\end{align}$
Agar kedua matriks sama maka entri yang terletak pada baris yang sama kolom yang sama juga harus sama. Diperoleh persamaan
$(a+b)(a-b)=1.......(1)$
$b(a+d)=0.......(2)$
$-b(a+d)=0.......(3)$
$(b+d)(-b+d)=1.....(4)$
persamaan (2) dan (3) ekivalen, dan jika $b=0$ maka $c=0$ dan $a^2=1$ dan $d^2=1$. Untuk kasus ini ada 2 kemungkinan.
Jika $a=-d$ maka perhatikan persamaan pertama karena $a,b$ bilangan bulat maka $a+b$ dan $a-b$ bilangan bulat. Sehingga persamaan (1) benar jika
$a+b=a-b=1$ terjadi ketika $b=0$ di mana sudah ada pada kasus sebelumnya. Jadi, banyak nya matriks yang memenuhi adalah $4$
