Bahas Tuntas Soal Seleksi KN-MIPA PT Matematika tahun 2020 Tingkat Perguruan Tinggi

Haiii.. saudara sekalian.

Pada kesempatan hari ini saya akan mencoba membahas soal seleksi KN-MIPA PT Matematika Tingkat Perguruan Tinggi. Untuk soalnya seperti yang saya sajikan di bawah ini.

Struktur Aljabar
Diketahui himpunan $A=\{e,x,x^2,x^3,y,xy,x^2y,x^3y\}$, $x^4=y^2=e$ dan $xy=y^{-1}x$. Carilah unsur idempoten di $A$. Jelaskan jawaban Anda.
Jawab : Suatu unsur $a$ di $A$ dikatakan idempoten jika memenuhi $a^2=a$. Jelas karena $e\in A$ dan $e^2=e$ maka $e$ merupakan unsur idempoten di $A$.
Perhatikan bahwa jika $x^k$ unsur idempoten maka berlaku $x^k=x^{2k}$ hal ini terjadi jika $x^k=e$ sehingga tidak ada $x^k$ yang merupakan unsur idempoten di $A$. Selain itu perhatikan juga bahwa $y^2=e$ maka $y=y^2y^{-1}=ey^{-1}=y^{-1}$ sehingga $y^{-1}=y$,
maka berlaku $xy=yx$.
Perhatikan bahwa jika $x^ly$ unsur idempoten maka berlaku $x^ly=(x^ly)^2=x^{2l}y^2=x^{2l}$.

Jelas bahwa $x^ly\neq x^{2l}$ sehingga $x^ly$ bukan merupakan unsur idempoten di $A$. Oleh karena itu unsur idempoten hanyalah $e$.

Aljabar Linier
Diketahui matriks persegi $A$ dengan $A^3=0$. Jika matriks $A+2I$ tak singular maka carilah $(A+2I)^{-1}$. Jelaskan jawabanmu
Jawab : Karena $A$ adalah matriks persegi dan berlaku $A^3=0$, maka $A$ adalah matriks nilpotent dengan indeks $3$. Assumsikan bahwa $A$ matriks berukuran $n\times n$ dimana berlaku $det(xI-A)=x^n$. Jelas bahwa $det(A+2I)=-det(-2I-A)=-(-2)^n$. Karena $A$ adalah matriks nilpotent, matriks $\frac{1}{2}A$ juga merupakan matriks nilpotent. Maka berlaku $(\frac{1}{2}A+I)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}A\right)^k$.
Akibatnya $(A+2I)^{-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}A+I)^{-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}A\right)^k$

Analisis Real
Diberikan himpunan $A=\{\frac{2m+3n}{mn}: n\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N}\}$.
  a. Tentukan $inf(A)$ dan $sup(A)$ dan jelaskan.
  b. Tentukan semua titik limit $A$ dan jelaskan.
  c. Tentukan $int(A)$.
Jawab : a. Perhatikan bahwa $\frac{2m+3n}{mn}=\frac{2}{n}+\frac{3}{m}$, dimana jelas bahwa $\frac{2}{n}>0$ dan $\frac{3}{m}>0$ untuk $n\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N}\}$. Maka bisa kita simpulkan bahwa $inf(A)=inf(\frac{2}{n})+inf(\frac{3}{m})$ dan $sup(A)=sup(\frac{2}{n})+sup(\frac{3}{m})$.
Oleh karena itu, perhatilan bahwa $\frac{2}{n}>0$ jadi $inf(\frac{2}{n})=0$, perhatikan juga $\frac{3}{m}>0$ jadi $inf(\frac{3}{m})=0$. sehingga dapat disimpulkan bahwa $inf(A)=0$. Sekarang kita akan mencari $sup(A)$. Fakta bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku $2\geq\frac{2}{n}>\frac{2}{n+1}$, maka bisa didapat $2=sup(\frac{2}{n})$ dengan cara serupa untuk setiap bilangan asli $m$ berlaku $3\geq\frac{3}{m}>\frac{3}{m+1}$ maka bisa didapat $3=sup(\frac{3}{m})$. Sehingga bisa kita simpulkan $sup(A)=5$.
  b. Himpunan $A=\{\frac{2m+3n}{mn}: n\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N}\}$ mempunyai titik limit hanya di $0$, karena untuk setiap $r>0$ kita selalu bisa mendapatkan beberapa $m,n\in\mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\frac{2m+3n}{mn}<0+r$
  c. $int(A)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<x<5\}$

Analisis Kompleks
Misalkan bilangan kompleks $z=1-i$
  a. Tentukan $z^{2020}$
  b. Tentukan $z^{\frac{1}{4}}$
Jawab :
  a. Perhatikan bahwa $z=1-i$ , $z^2=(1-i)^2=-2i$ , $z^4=(z^2)^2=-4$.
Jadi $z^{2020}=(z^4)^{505}=-4^{505}=-2^{1010}$
  b. Perhatikan bahwa $z=\sqrt{2}(cos\ \frac{7\pi}{4}+i.sin\ \frac{7\pi}{4})=\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}i}$

Sehingga $z^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{8}}e^{\frac{7\pi}{16}i}=2^{\frac{1}{8}}(e^{\pi i})^{\frac{7}{16}}=2^{\frac{1}{8}}(-1)^{\frac{7}{16}}=(-4)^{\frac{1}{16}}$

Kombinatorika
$7$ buah bilangan dipilih (tanpa pengembalian) dari himpunan $\{1,2,3,\cdots,11\}$. Berapakah banyaknya cara pengambilan sehingga $7$ bilangan yang terpilih jumlahnya genap.
Jawab : Perhatikan bahwa jumlah $7$ bilangan akan genap jika memenuhi kasus yaitu :
1. Semua bilangan adalah bilangan genap.
2. Terdapat tepat $2$ bilangan ganjil.
3. Terdapat tepat $4$ bilangan ganjil.
4. Terdapat tepat $6$ bilangan ganjil.
Kita tahu bahwa banyak bilangan genap tersedia adalah $5$ dan banyak bilangan ganjil adalah $6$ maka untuk kasus yang pertama jelas tidak mungkin. Sehingga hanya terdapat $3$ kasus.
1. Jika terdapat tepat $2$ bilangan ganjil, maka banyak cara pengambilan adalah $C(6,2)\times C(5,5)=15\times 1=15$
2. Jika terdapat tepat $4$ bilangan ganjil, maka banyak cara pengambilan adalah $C(6,4)\times C(5,3)=15\times 10=150$
3. Jika terdapat tepat $6$ bilangan ganjil, maka banyak cara pengambilan adalah $C(6,6)\times C(5,1)=1\times 5=5$
Jadi banyaknya cara pengambilan sehingga $7$ bilangan yang terpilih jumlahnya genap adalah $15+150+5=170$