Permutasi dan Kombinasi

Sebelum kita bicara tentang Permutasi dan Kombinasi kita berkenalan dengan notasi faktorial.

Faktorial

Kita definisikan simbol ! (faktorial) yaitu
-) $0!=1$
-) $n!=1.2.3\cdots (n-2).(n-1).n$ untuk bilangan asli $n$.
$n!$ dibaca $n$ faktorial
Sebagai contoh
$1!=1$

$2!=1.2=2$
$3!=1.2.3=6$
$4!=1.2.3.4=24$
$5!=1.2.3.4.5=120$

Perhatikan bahwa
$5!=3!.4.5$
$\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$

Sekarang kita bicara tentang permutasi

Permutasi tanpa pengulangan

Definisi : Misalkan $x_1,x_2,\cdots x_n$ merupakan $n$ objek berbeda. Suatu permutasi dari objek-objek ini merupakan penyusunan objek-objek tersebut dengan memperhatikan urutan.

Teorema : 

Misalkan $x_1, x_2, … , x_n$ adalah $n$ obyek yang berbeda. Maka banyaknya $n$−permutasi adalah $n!$ permutasi.

Permutasi dengan pengulangan

Definisi : Misalkan $x_1,x_2,\cdots x_n$ merupakan $n$ obyek dimana obyek tersebut bisa di pilih lebih dari satu kali.

Teorema : 

Misalkan terdapat $k$ tipe obyek, dengan: $n_1$ obyek bertipe $1$, $n_2$ obyek bertipe $2$, dst. Maka banyaknya cara penyusunan dari $n_1+n_2+\cdots +n_k$ obyek ini adalah dengan

$\frac{n_1+n_2+n_3+\cdots +n_k}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_k!}$

Kombinasi tanpa pengulangan

Definisi : Misalkan diberikan sebuah himpunan dengan $n$ elemen. Pemilihan $k$ anggota himpunan tanpa memperhatikan urutan disebut $k$-kombinasi, dengan $0\leq k\leq n$

Teorema : 

Misalkan himpunan $n$ elemen. Maka banyaknya $k$−kombinasi adalah $\binom{n}{k}$ permutasi.

Kombinasi dengan pengulangan

Teorema (De Moivre) : 

Misalkan $x_1,x_2,x_3+\cdots ,x_r,n$ adalah bilangan asli yang memenuhi

$x_1+x_2+x_3+\cdots +x_r=n$

Banyaknya solusi bulat yang memenuhi persamaan tersebut adalah

$\binom{n-1}{r-1}$