Integral Fungsi Kompleks

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang pengintegralan fungsi kompleks.

Ingat bahwa fungsi kompleks $w$ dari variabel real $t\in [a,b]\subset \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $w(t)=u(t)+iv(t)$ yaitu $w : [a,b]\subset\mathbb{R}\to \mathbb{C}$. Turunan dari $w(t)$ pada titik $t$ didefinisikan oleh $\frac{d}{dt}w(t)=w'(t)=u'(t)+iv'(t)$
dengan $u'$ dan $v '$ ada di $t$. Hal serupa, integral dari $w(t)$ pada selang $[a,b]$ didefinisikan oleh $\int_a^b w(t)\ dt=\int_a^b u(t)\ dt +i\int_a^b v(t) dt$
Asalkan integral dari $u$ dan $v$ ada. Untuk itu, cukup mengasumsikan bahwa fungsi $u$ dan $v$ saling kontinu dalam selang $[a,b]$. Sifat turunan dan integral berikut ini :
(i) $\frac{d}{dt}[w_1(t)+w_2(t)]=w_1'(t)+w_2'(t)$.
(ii) $\frac{d}{dt}[z_0w_1(t)]=z_0\frac{d}{dt}w_1(t),\ z_0\in \mathbb{C}$.
(iii) $\int_a^b [w_1(t)+w_2(t)]\ dt=\int_a^b w_1(t)\ dt+\int_a^b w_2(t)\ dt$.
(iv) $\int_a^b z_0w_1(t)\ dt=z_0\int_a^b w_1(t),\ z_0\in \mathbb{C}$.
(v) $Re\int_a^b w_1(t)\ dt=\int_a^b Re[w_1(t)]\ dt$
      $Im\int_a^b w_1(t)\ dt=\int_a^b Im[w_1(t)]\ dt$.

Disini kita hanya akan menunjukkan sifat (iv). Untuk itu, misalkan $z_0=x_0+iy_0$ dan $w_1(t)=u_1(t)+iv_1(t)$ maka kita punya
$z_0w_1(t)=[x_0u_1(t)-y_0v_1(t)]+i[x_0v_1(t)+y_0u_1(t)]$
sehingga
$\begin{align*}\int_a^b z_0w_1(t)\ dt &=\int_a^b [x_0u_1(t)-y_0v_1(t)]\ dt+i\int_a^b [x_0v_1(t)+y_0u_1(t)]\ dt\\
&=\left[x_0\int_a^b u_1(t)\ dt-y_0\int_a^b v_1(t)\ dt\right]+i\left[x_0\int_a^b v_1(t)\ dt+y_0\int_a^b u_1(t)\ dt\right]\\
&=(x_0+iy_0)\left[u_1(t)+iv_1(t)\right]\\
&=z_0\int_a^b w_1(t)\ dt
\end{align*}$
Contoh : Misalkan $w(t)$ kontinu pada $[a,b]$ dan $w'(t)$ ada pada $(a,b)$. Untuk fungsi seperti itu, Teorema nilai rata rata untuk turunan tidak berlaku lagi yaitu belum tentu benar bahwa ada $c\in (a,b)$ sehingga sw'(c)=\frac{w(b)-w(a)}{b-a}$. Untuk mengetahuinya, kita pertimbangkan fungsi $w(t)=e^{it},\ 0\leq t\leq 2\pi$. Jelas, $\mid w'(t)\mid=\mid ie^{it}\mid=1$ dan karenanya $w'(t)$ tidak pernah nol, sedangkan $w(2\pi)-w(0)=0$.
Kita ingat bahwa jika $f:[a,b]\to\mathbb{R}$, maka $\mid\int_a^b f(x)\ dx\mid\leq\int_a^b\mid f(x)\mid\ dx$. Kita sekarang akan menunjukkan bahwa kesamaan berlaku untuk $w:[a,b]\to\mathbb{C}$ yaitu
$\mid\int_a^b w(t)\ dt\mid\leq\int_a^b\mid w(t)\mid\ dt,\ a\leq b<\infty$
Untuk itu, misalkan \(\mid\int_a^b w(t)\ dt\mid =r\) sehingga $\int_a^b w(t)\ dt=re^{i\theta}$ dalam bentuk polar. Sekarang kita punya
$\begin{align*}r &=e^{-i\theta}\int_a^b w(t)\ dt=\int_a^b e^{-i\theta}w(t)\ dt\\
 &=\int_a^b Re[e^{-i\theta}w(t)]\ dt + i\int_a^b Im[e^{-i\theta}w(t)]\ dt\\
 &=\int_a^b Re[e^{-i\theta}w(t)]\ dt\\
 &\leq \mid\int_a^b Re[e^{-i\theta}w(t)]\ dt\mid\leq\int_a^b \mid Re[e^{-i\theta}w(t)]\ dt\\
 &\leq\int_a^b\mid e^{-i\theta}w(t)\mid\ dt=\int_a^b\mid w(t)\mid\ dt\end{align*}$
Kita perhatikan bahwa Teorema Fundamental pada kalkulus juga berlaku : Jika $W(t)=U(t)+iV(t),\ w(t)=u(t)+iv(t),\ \text{dan}\ W'(t)=w(t),\ t\in[a,b]\), maka
\(\int_a^b w(t)\ dt=W(b)-W(a)$
Dengan demikian, secara khusus kita punyai
$\int_a^b e^{z_0t}\ dt=\frac{1}{z_0}(e^{z_0b}-e^{z_0a}),\ z_0\neq 0$.
Panjang kurva $\gamma$ diberikan oleh kisaran $z :[a,b]\to\mathbb{C}$ didefinisikan sebagai $L(\gamma)=\int_a^b\mid z'(t)\mid\ dt$
Contoh : Untuk $z(t)=z_1+t(z_2-z_1),\ 0\leq t\leq 1$, kita punya
$z'(t)=z_2-z_1$ dan karenanya $L(\gamma)=\int_0^{1} \mid z_2-z_1\mid\ dt=\mid z_2-z_1\mid$
Contoh : Untuk $z(t)=z_0+re^{it},\ 0\leq t\leq 2\pi$, kita punya
$z'(t)=ire^{it}$ dan karenanya $L(\gamma)=\int_0^{2\pi} \mid ire^{it}\mid\ dt=2\pi r$
Sekarang, misalkan $S$ merupakan suatu himpunan terbuka, dan misalkan $\gamma$ diberikan oleh kisaran $z :[a,b]\to\mathbb{C}$ merupakan kurva kontinu dan mempunyai turunan disetiap titik di $S$. Jika $f:S\to\mathbb{C}$ kontinu, maka integral dari $f$ disepanjang $\gamma$ didefinisikan sebagai
$\int_{\gamma} f(z)\ dz=\int_a^b f(z(t))z'(t)\ dt$
Beberapa sifat integrasi adalah sebagai berikut
$\int_{\gamma} [f(z)\pm g(z)]\ dz=\int_{\gamma} f(z)\ dz\pm\int_{\gamma} g(z)\ dz$
$\int_{\gamma} z_0f(z)\ dz=z_0\int_{\gamma} f(z)\ dz$
$\int_{-\gamma} f(z)\ dz=-\int_{\gamma} f(z)\ dz$
Contoh : Misalkan $f(z)=z-1$ dan misalkan $\gamma$ merupakan kurva diberikan oleh $z(t)=t+it^2,\ 0\leq t\leq 1$. Jelas, $\gamma$ kontinu dan bisa diturunkan disetiap titik dan
$\begin{align*}\int_{\gamma} f(z)\ dz &=\int_0^1 f(z(t))z'(t)\ dt=\int_0^1 (t+it^2-1)(1+2it)\ dt\\
 &=\int_0^1 (t-1-2t^3)\ dt+i\int_0^1 (2t(t-1)+t^2)\  dt\\
 &=\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+i(1-1)=-1\end{align*}$
Contoh : Misalkan $f(z)=z+\frac{1}{z}$ untuk $z\neq 0$ dan $\gamma$ merupakan setengah lingkaran pada titik asal jari jari 1, yaitu $z(t)=e^{\pi it},\ 0\leq t\leq 1$. Jelas, $\gamma$ kontinu dan bisa diturunkan disetiap titik dan
$\begin{align*}\int_{\gamma} f(z)\ dz &=\int_0^1 f(z(t))z'(t)\ dt=\int_0^1 \pi i(e^{\pi it}+e^{-\pi it})e^{\pi it}\ dt\\
 &=\frac{1}{2}e^{2\pi i}+\pi i-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\pi i-\frac{1}{2}=\pi i\end{align*}$
Panjang kontur $\gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_n$ didefinisikan sebagai
$L(\gamma)=\sum_{j=1}^{n} L(\gamma_j)$
Jika $f:S\to\mathbb{C}$ kontinu pada $\{\gamma\}$, maka kontur integral dari $f$ sepanjang $\gamma$ didefinisikan oleh
$\int_{\gamma} f(z)\ dz=\sum_{j=1}^{n} \int_{\gamma_j} f(z)\ dz$
Contoh : Misalkan $f(z)=z-1$ dan $\gamma=\gamma_1+\gamma_2$, dimana $\gamma_1$ diberikan oleh $z_1(t)=t,\ 0\leq t\leq 1$ dan $\gamma_2$ diberikan oleh $z_2(t)=1+i(t-1),\ 1\leq t\leq 2$, Jelas, kontur $\gamma$ kontinu dan dapat diturunkan di setiap titiknya, dan
$\begin{align*}\int_{\gamma} f(z)\ dz &=\int_0^1 f(z_1(t))z_1'(t)\ dt+\int_1^2 f(z_2(t))z_2'(t)\ dt\\
 &=\int_0^1 (t-1)\ dt+\int_1^2 i(t-1)\ dt\\
 &=\frac{1}{2}-1+i(2-2-\frac{1}{2}+1)\\
 &=-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\end{align*}$
Teorema (Ketaksamaan ML) : Seandainya \(f\) kontinu pada himpunan terbuka yang berisi kontur $\gamma$ dan $\mid f(z)\mid\leq M$ untuk setiap $z\in\{\gamma\}$. Maka ketaksamaan berikut berlaku
$\mid\int_{\gamma} f(z)\ dz\mid\leq ML$ dimana $L$ adalah panjang $\gamma$
Bukti : Pertama assumsikan bahwa $\gamma$ diberikan oleh kisaran $z :[a,b]\to\mathbb{C}$ kontinu dan dapat diturunkan disetiap titiknya. Maka kita punya
$\begin{align*}\mid\int_{\gamma} f(z)\ dz\mid &=\mid\int_a^b f(z(t))z'(t)\ dt\mid\leq\int_a^b \mid f(z(t))\mid\mid z'(t)\mid\ dt\\
 &\leq M\int_a^b \mid z'(t)\mid\ dt=ML\end{align*}$
Jika $\gamma=\gamma_1+\gamma_2+\cdots+\gamma_n$ dimana $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n$ kontinu dan dapat diturunkan disetiap titik, maka kita dapatkan
$\begin{align*}\mid\int_{\gamma} f(z)\ dz\mid &=\mid\sum_{j=1}^{n}\int_{\gamma_j} f(z)\ dz\mid\leq\sum_{j=1}^{n}\mid\int_{\gamma_j} f(z)\ dz\mid\\
 &\leq \sum_{j=1}^{n} ML(\gamma_j)=ML(\gamma)\end{align*}$
Terbukti.
Contoh : Misalkan $\gamma$ diberikan oleh $z(t)=2e^{it},\ 0\leq t\leq 2\pi$. Tunjukkan bahwa $\mid\int_{\gamma}\frac{e^z}{z^2+1}\ dz\mid\leq\frac{4\pi e^2}{3}$
Karena $\mid e^z\mid=e^x\leq e^2$ dan $\mid z^2+1\mid\geq\mid\mid z^2\mid -1\mid=\mid 4-1\mid=3$, berarti bahwa
$\mid\int_{\gamma} \frac{e^z}{z^2+1}\ dz\mid\leq \frac{e^2}{3}\times 2\times 2\pi =\frac{4\pi e^2}{3}$