Konsep Bilangan Kompleks Lengkap

Hai semua...
Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang Analisis Kompleks yaitu tentang Bilangan Kompleks, Modulus, Konjugat, Bentuk Polar.

Langsung saja pertama kita akan mendefinisikan bilangan kompleks.

Definisi : Bilangan Kompleks adalah bilangan yang dinotasikan dengan $z=a+bi$, dimana $a,b\in\mathbb{R}$ dan $i^2=-1$.
$a$ disebut bagian real dari $z$, ditulis $a=Re(z)$ dan $b$ disebut bagian imajiner dari $z$, ditulis $b=Im(z)$. Contohnya $z=2-3i$, maka $Re(z)=2$ dan $Im(z)=-3$
Penjumlahan dan Perkalian bilangan kompleks, sama halnya dengan penjumlahan dan perkalian yang kita kenal sebelumnya. Hanya saja dalam penjumlahan bilangan kompleks bagian real+bagian real dan bagian imajiner+bagian imajiner.
-) $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

-) $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
Sebagai contoh $(2+i)+(4+2i)=6+3i$ dan $(3-i)(2+3i)=9+7i$
Himpunan semua bilangan kompleks, dilambangkan dengan $\mathbb{C}$ dapat dilihat sebagai bidang kompleks

Modulus bilangan kompleks $z=a+bi$ dinotasikan sebagai $\mid z \mid$ dan diberikan $\mid z \mid =\sqrt{a^2+b^2}$
dan menurut ketaksamaan segitiga kita dapatkan
                      $\mid z_1+z_2 \mid \leq \mid z_1 \mid + \mid z_2 \mid$
Kemudian diberikan bilangan kompleks $z$ notasi $\bar{z}$ menyatakan konjugat dari $z$ yakni $\bar{z}=a-bi$. Sehingga berlaku
$2a=z+\bar{z}$ dan $2bi=z-\bar{z}$
Karena $a$ dan $b$ menyatakan bagian Real dan bagian Imajiner dari $z$ sehingga diperoleh
$Re(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$ dan $Im(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$
Perhatikan juga kalau
$z.\bar{z}=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$
$\mid z \mid ^2 =z.\bar{z}$
Bilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu
      $z=r(cos\ \theta+i.sin\ \theta)$
dengan $r=\mid z \mid$ dan $\theta=arg(z)$
Perhatikan bahwa
$z_1.z_2=r_1.r_2[cos\ (\theta_1+\theta_2)+i.sin\ (\theta_1+\theta_2)]$
Buktinya :

$z_1=r_1(cos\ \theta_1+i.sin\ \theta_1)$
$z_2=r_2(cos\ \theta_2+i.sin\ \theta_2)$
$z_1.z_2=r_1.r_2(cos\ \theta_1+i.sin\ \theta_1)(cos\ \theta_2+i.sin\ \theta_2)$
$z_1.z_2=r_1.r_2[cos\ \theta_1.cos\ \theta_2-sin\ \theta_1.sin\ \theta_2+i(sin\ \theta_1.cos\ \theta_2+cos\ \theta_1.sin\ \theta_2)]$
$z_1.z_2=r_1.r_2[cos\ (\theta_1+\theta_2)+i.sin\ (\theta_1+\theta_2)]$
Kita juga mempunyai rumus euler yaitu
$e^{i\theta}=cos\ \theta+i.sin\ \theta$
atau jika $\theta=\pi$ kita dapatkan
$e^{i\pi}=-1$