Operasi Pada Himpunan

Hello guys.. di kesempatan hari ini kita akan membahas terkait operasi pada himpunan. Dimana pada blog ini sebelumnya kita sudah belajar tentang konsep dari pada himpunan itu sendiri. Disana sudah dibahas tentang himpunan, himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan finit dan infinit, serta relasi antar himpunan. Dan saat ini yang akan di pelajari yaitu tentang operasi pada himpunan, beberapa sifat operasi seperti komutatif, asosiatif, distributif, dll. Dan sedikit tentang keluarga himpunan dan himpunan kuasa. Yukk simak pembahasannya!!!

Operasi Pada Himpunan

• Operasi Gabungan (Union) 

Gabungan dua himpunan $A$ dan $B$ (ditulis $A\cup B$) adalah himpunan semua anggota $A$ atau $B$ atau keduanya.

$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$

• Operasi Irisan (Intersection)

Irisan dua himpunan $A$ dan $B$ (ditulis $A\cap B$) adalah himpunan semua anggota $A$ yang juga anggota $B$.

$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$

• Operasi Komplemen

Komplemen himpunan $A$ (ditulis $A^c$ atau $A'$ atau $\overline{A}$) adalah himpunan semua anggota semesta yang bukan $A$.

$A^c=\{x|x\in S\wedge x\notin A\}$

• Operasi Selisih

Selisih himpunan $A$ dan $B$ (ditulis $A-B$) adalah himpunan yang semua anggotanya adalah semua anggota $A$ yang bukan anggota $B$. Jadi $A-B=A\cap B^c$

$A-B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$

• Operasi Jumlah

Jumlah dua himpunan $A$ dan $B$ (ditulis $A+B$) adalah himpunan semua anggota $A$ atau anggota $B$, tetapi bukan keduanya.

$A+B=\{x|x\in (A\cup B)\wedge x\notin (A\cap B)\}$

• Operasi Perkalian Silang

Perkalian silang dua himpunan $A$ dan $B$ (ditulis $A\times B$) adalah himpunan pasangan berurutan yang unsur pertamanya adalah anggota $A$ dan unsur keduanya anggota $B$.

$A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}$

Sifat Sifat Operasi

• Komutatif

a) $A\cup B=B\cup A$

    Bukti : $A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$

    $A\cup B=\{x|x\in B\vee x\in A\}$

    $A\cup B=B\cup A$

b) $A\cap B=B\cap A$

    Bukti : $A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$

    $A\cap B=\{x|x\in B\wedge x\in A\}$

    $A\cap B=B\cap A$ 

• Asosiatif

a) $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

    Bukti : $(A\cup B)\cup C=\{x|x\in (A\cup B)\vee x\in C\}$

    $(A\cup B)\cup C=\{x|x\in A\vee x\in B\vee x\in C\}$

    $(A\cup B)\cup C=\{x|x\in A\vee x\in (B\cup C)\}$

    $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

b) $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

    Bukti : $(A\cap B)\cap C=\{x|x\in (A\cap B)\wedge x\in C\}$

    $(A\cap B)\cap C=\{x|x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C\}$

    $(A\cap B)\cap C=\{x|x\in A\wedge x\in (B\cap C)\}$

    $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

• Distributif

a) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

    Bukti : $A\cup (B\cap C)=\{x|x\in A\vee x\in (B\cap C)\}$

    $A\cup (B\cap C)=\{x|x\in A\vee (x\in B\wedge x\in C)\}$

    $A\cup (B\cap C)=\{x|(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A \vee x\in C)\}$

    $A\cup (B\cap C)=\{x|x\in (A\cup B)\wedge x\in (A\cup C)\}$

    $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

b) $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

    Bukti : $A\cap (B\cup C)=\{x|x\in A\wedge x\in (B\cup C)\}$

    $A\cap (B\cup C)=\{x|x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\}$

    $A\cap (B\cup C)=\{x|(x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A \wedge x\in C)\}$

    $A\cap (B\cup C)=\{x|x\in (A\cap B)\vee x\in (A\cap C)\}$

    $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

• Komplementer

a) $A\cup A^c=S$

b) $A\cap A^c=\varnothing$

• Hukum De Morgan

a) $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$

b) $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

• Penyerapan

a) $A\cup (A\cap B)=A$

b) $A\cap (A\cup B)=A$

Keluarga Himpunan dan Himpunan Kuasa

Keluarga Himpunan adalah suatu himpunan yang semua anggotanya adalah himpunan. Contohnya : $A=\{\{5\},\{1,3\},\{3,5,9\}\}$. Keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan $A$ disebut himpunan kuasa $A$ (ditulis $2^A$). Contohnya : Misalkan $A=\{1,2,3\}$ maka

$2^A=\{\varnothing ,\{1\} ,\{2\}, \{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Jika himpunan berhingga, misalkan $n(A)=n$ maka himpunan kuasa $A$ mempunyai $2^n$ anggota.

Bukti : Tanpa mengurangi keumuman misalkan 

$A=\{x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n\}$.

Perhatikan bahwa banyak anggota dari himpunan kuasa dapat kita hitung dengan

$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n}{n}=2^n$