Pembahasan Soal TOSCA bidang Matematika 2017

Hello.. Kali ini akan dibahas tentang soal TOSCA Bidang Matematika 2017 Babak Penyisihan. Silahkan disimak pembahasannya.

Pembahasan Soal Tosca bidang Matematika Penyisihan tahun 2017

1. Di sebuah acara makan malam, hadir tiga orang ibu beserta masing-masing dua orang anak perempuannya. Berapa kemungkinan terkecil banyaknya orang yang hadir pada acara itu?
Jawab : Yaitu paling sedikit dihadiri $3$ orang ibu dan masing-masing $2$ orang anak perempuannya atau sebanyak $3+3\times 2=9$ orang.

2. Misalkan $2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + 4 \times 2^4 + \cdots + 20\times 2^20 =a\times 2^b$ dengan $a$ ganjil dan $b$ bilangan asli. Tentukan nilai dari $a$ dan $b$
Jawab : Kita tulis dalam notasi sigma
$a\times 2^b=\sum_{n=2}^{20}(n\times 2^n)$
$a\times 2^b=\sum_{n=2}^{20}((2(n+1)-n-2)\times 2^n)$
$a\times 2^b=\sum_{n=2}^{20} ((n+1)\times 2^{n+1}-n\times 2^n-2^{n+1})$
$a\times 2^b=\sum_{n=2}^{20}(n+1)\times 2^{n+1}-\sum_{n=2}^{20}n\times 2^{n}-\sum_{n=2}^{20}2^{n+1}$
$a\times 2^b=21\times 2^{21}-2\times 2^{2}-\frac{8(2^{19}-1)}{2-1}$
$a\times 2^b=21\times 2^{21}-2^{22}$
$a\times 2^b=19\times 2^{21}$
Dari persamaan terakhir dapat kita peroleh bahwa $a=19$ dan $b=21$

3. Jika $n$ adalah suatu bilangan asli yang menyebabkan hasil dari

$1+2+3+\cdots +n$

berupa bilangan $3$ digit yang semua digitnya kembar, tentukan nilai dari $n$
Jawab : Perhatikan bahwa

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n-1)}{2}$
Bilangan $3$ digit kembar bisa dinyatakan dalam $111a$ dengan $a$ adalah digit bilangan tersebut, maka didapat
$\frac{n(n-1)}{2}=111a$
$n(n-1)=2\times 3\times 37\times a$
Karena $a$ suatu digit maka $n=37$

4. Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan

$\sqrt{3x+108}=-x$

Jawab : Jelas $x\leq0$, kuadratkan kedua ruas diperoleh
$3x+108=x^2$
$x^2-3x-108=0$
$(x-12)(x+9)=0$
$x=-9$

5. Sebuah persegi panjang yang panjang-panjang sisinya adalah bilangan bulat ternyata memiliki luas $20$ satuan. Tentukan semua keliling persegi panjang yang mungkin.
Jawab : WLOG misalkan sisinya adalah $a$ dan $b$ maka
$ab=20$
Kita tahu bahwa $20=1\times 20,2\times 10,4\times 5$
Keliling persegi panjang yang mungkin adalah $42,24,18$

6. Tuliskan semua nilai $x$ yang mungkin, agar bilangan $5$ digit $73.1x2$ habis dibagi $12$
Jawab : Habis dibagi $12$ berarti habis dibagi $3$ dan $4$.
-) Syarat bilangan habis dibagi $3$ yakni jumlah digitnya habis dibagi $3$. Karena $7+3+1+x+2$ habis dibagi 3 maka $x$ sisa $2$ jika dibagi 3. Karena $x$ digit maka yang mungkin menjadi nilai $x$ adalah $2,5,8$
-) Syarat bilangan habis dibagi $4$ yakni dua digit terakhirnya habis dibagi $4$ maka $x2$ habis dibagi $4$ dan mudah diperiksa bahwa yang memenuhi adalah $x=52$

7. Tentukan banyaknya cara membagi $11$ orang ke dalam kelompok-kelompok yang hanya beranggotakan $4$ atau $3$ orang.
Jawab : Kita bisa tulis $11=4a+3b$ dengan $a=\{0,1,2\}$ dan $b=\{0,1,2,3\}$
Perhatikan jika kita gunakan modulo $3$ kita akan dapat $a$ bersisa $2$ jika dibagi $3$ sehingga $a=2$.
Perhatikan jika kita gunakan modulo $4$ kita akan dapat $b$ bersisa $1$ jika dibagi $4$ sehingga $b=1$.
Jadi, banyak caranya adalah $1$ cara

8. Sebuah persegi dan sebuah lingkaran memiliki keliling yang sama. Bangun manakah yang memiliki luas lebih besar? Mengapa?
Jawab : Lingkaran.
$2\pi R=4s$
$\pi R=2s$
$\pi^2 R^2=4s^2$
$\frac{\pi R^2}{s^2}=\frac{4}{\pi}>1$
$\pi R^2 > s^2$

Untuk soal nomor 9-14, tuliskan jawaban Anda dengan disertai argumentasi yang 
lengkap. Poin maksimal untuk setiap jawaban adalah 10.

9. Untuk bilangan bulat $n\geq 3$, buktikan bahwa

$\binom{n}{2}=\binom{n-1}{2}+\binom{n-1}{1}$

Keterangan : notasi $\binom{n}{k}$ berarti kombinasi $k$ objek dari $n$ objek.

Jawab : Kita punya $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$\binom{n}{2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$

$\binom{n-1}{2}+\binom{n-1}{1}=\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}+\frac{(n-1)!}{1!(n-2)!}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$

Sehingga terbukti bahwa $\binom{n}{2}=\binom{n-1}{2}+\binom{n-1}{1}$

10. Diberikan bilangan-bilangan real positif $a$, $b$ dan $c$ dengan $a+b+c = 3$. Tunjukkan

$\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq\frac{3}{2}$

Jawab : Perhatikan bahwa $1+b^2\geq 2b$

$\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

$\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}$

$a^2+b^2\geq 2ab$

$b^2+c^2\geq 2bc$

$a^2+c^2\geq 2ac$

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

$3\geq ab+bc+ac$

$\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

11. Dari $400$ bilangan bulat $1, 2,\cdots , 400$ dipilih $201$ bilangan. Buktikan bahwa di antara $201$ bilangan bulat yang dipilih terdapat $2$ bilangan bulat sehingga satu dari bilangan bulat tersebut akan membagi bilangan yang lain.
Jawab : suatu bilangan bulat positif dapat membagi bilangan bulat positif yang lain sedikitnya dia akan menghasilkan hasil bagi $2$. Jadi, kita pilih $201,202,\cdots, 400$ dimana jelas tidak ada $2$ bilangan yang membagi bilangan lain. Sehingga dengan menggunakan PHP maka untuk $201$ bilangan setidaknya ada satu yang membagi bilangan lain, maka terbukti.

12. Perhatikan gambar berikut.

Gambar tersebut merupakan sebuah persegi yang di dalamnya terdapat dua buah lingkaran yang saling bersinggungan. Jika luas lingkaran kecil adalah $\pi$ satuan tentukan luas persegi.
Jawab : Dari luas yang diketahui diperoleh jari-jari lingkaran kecil adalah $1$ satuan. Kalau kita perhatikan kita bisa menarik ruas garis dari pusat lingkaran kecil ke titik sudut persegi bagian kiri bawah dan panjangnya adalah $\sqrt{2}$. Maka kalau kita cari panjang diagonal persegi akan didapat $d=2\sqrt{2}+2+\text{diameter lingkaran besar}$
$\text{diameter lingkaran besar}=\text{sisi persegi}$
$d=2\sqrt{2}+2+\text{sisi persegi}$
$\sqrt{2}\text{sisi persegi}=2\sqrt{2}+2+\text{sisi persegi}$
$\text{sisi persegi}=2$
$L=2^2=4$

13. Buktikan bahwa bentuk

$\frac{21n+4}{14n+3}$

tidak dapat disederhanakan lagi untuk setiap bilangan bulat $n$
Jawab : Sama saja kita menunjukkan kalau $21n+4$ dan $14n+3$ saling relatif prima. Kita coba membuktikan dengan algoritma euclid
$21n+4=14n+3+7n+1$
$14n+3=2(7n+1)+1$
Berdasarkan algoritma euclid maka $FPB(21n+4,14n+3)=1$ maka terbukti kalau $\frac{21n+4}{14n+3}$ tidak dapat disederhanakan lagi untuk setiap bilangan bulat $n$
14. Perhatikan ilustrasi wadah penampungan air berikut!

Jika wadah tersebut diisi dengan air secara terus-menerus dengan kecepatan yang 

konstan. Di antara lima grafik berikut, yang manakah grafik yang tepat untuk 

menunjukkan volum air dalam wadah terhadap waktu?

Mengapa?

Jawab : Grafik B, karena dengan kecepatan yang konstan volume air dalam wadah tersebut mau itu bentuknya seperti apa pertambahannya akan sama dan karena pada saat mencapai permukaan air tersebut tumpah artinya dia punya batas volume yang di tampun maka pada saat air tumpah volume akan sama dengan air penuh.