Fungsi variabel kompleks

Pada blog kali ini , kita belajar tentang fungsi kompleks logaritma

Misalkan $Log\ r=ln\ r$ menunjukkan logaritma natural dari suatu bilangan real positif $r$. Jika $z\neq 0$ didefinisikan $log\ z$ adalah suatu nilai dimana
$log\ z=Log\ \mid z\mid +i\ arg\ z$
$log\ z=Log\ \mid z\mid +i\ Arg\ z+2k\pi i$ , $k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$

Contoh : Kita punya
$log\ 3=Log\ 3 +i\ arg\ 3=(1,098...)+2k\pi i$
$log\ (-1)=Log\ 1+i\ arg\ (-1)=(2k+1)\pi i$
$log\ (1+i)=Log\ \mid 1+i\mid+i\ arg\ (1+i)=Log\ \sqrt{2}+i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)$, dimana $k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$

Lalu, kita akan menunjukkan pernyataan suatu fungsi logaritma:
i) Jika $z\neq 0$ maka $z=e^{log\ z}$. Bukti misalkan $z=re^{i\theta}$ maka $\mid z\mid=r$ dan $arg\ z=\theta$. Oleh karena itu $log\ z=Log\ r+i\theta$. Jadi,
$e^{log\ z}=e^{Log\ r+i\theta}=e^{Log\ r}e^{i\theta}=re^{i\theta}=z$
ii) $log\ e^z=z+2k\pi i, k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$. Bukti misalkan $z=x+iy$. Maka $\mid e^z\mid=e^x$, $arg\ e^z=y+2k\pi$. Oleh karena itu,
$log\ e^z=Log\ \mid e^z\mid +i.arg\ e^z=Log\ e^x+iy+2k\pi i=x+iy+2k\pi i=z+2k\pi i$
iii) $log\ z_1z_2=log\ z_1+log\ z_2$
     $log\ \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=log\ z_1-log\ z_2$
Memang kita punya
$\begin{align*}log\ z_1z_2&=Log\ \mid z_1z_2\mid+i.arg\ z_1z_2\\&=Log\mid z_1\mid+Log\mid z_2\mid+i.arg\ z_1+i.arg\ z_2\\&=log\ z_1+log\ z_2\end{align*}$
Berlaku juga untuk $log\ \left(\frac{z_1}{z_2}\right)$.

Teorema : Fungsi $Log\ z$ analitik pada domain $D^*$ terdiri dari semua titik di bidang kompleks kecuali yang terletak pada sumbu real non positif, yaitu $D^*=\mathbb{C}-(\infty,0)$. Selanjutnya,

$\frac{d}{dz}Log\ z=\frac{1}{z}$ untuk $z$ di $D^*$
Bukti : Himpunan $w=Log\ z$. Misalkan $z_0\in D^*$ dan $w_0=Log\ z_0$. Kita akan tunjukkan bahwa
$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{Log\ z-Log\ z_0}{z-z_0}$ ada dan hasilnya adalah $\frac{1}{z_0}$. Karena $Log\ z$ kontinyu. $w=Log\ z\to w_0=Log\ z_0$ ketika $z\to z_0$. Maka
$\begin{align*}\lim\limits_{z\to z_0}\frac{Log\ z-Log\ z_0}{z-z_0} &=\lim\limits_{w\to w_0}\frac{w-w_0}{e^w-e^{w_0}}\\ &=\lim\limits_{w\to w_0}\frac{1}{\frac{e^w-e^{w_0}}{w-w_0}}\\ &=\frac{1}{e^{w_0}}=\frac{1}{e^{Log\ z_0}}=\frac{1}{z_0}\end{align*}$
Artinya untuk $z\neq z_0$, $w$ tidak akan bertepatan dengan $w_0$ ini mengikuti bahwa $z=e^{Log\ z}=e^w$. Dengan demikian $w=Log\ z$ terdifferensialkan pada setiap titik di $D^*$, karenanya fungsi $Log\ z$ analitik di $D^*$. (Terbukti)