Fungsi Analitik

Dalam Blog ini, dengan menggunakan gagasan mendasar tentang limit, kita akan mendefinisikan turunan fungsi-fungsi kompleks. Ini mengarah ke kelas fungsi khusus yang dikenal sebagai fungsi analitik. Fungsi-fungsi ini sangat penting dalam teori maupun aplikasi, dan merupakan bagian utama dari analisis kompleks. Kami juga harus mengembangkan persamaan Cauchy-Riemann yang memberikan tes yang lebih mudah untuk memverifikasi analitik fungsi.

Misalkan $f$ fungsi terdefinisi di daerah titik $z_0$. Maka turunan dari $f$ pada $z_0$ diberikan oleh
   $\frac{df}{dz}(z_0)=f'(z_0)=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$
asalkan limitnya ada. Sehingga fungsi $f$ dikatakan dapat diturunkan pada $z_0$ jika dan hanya jika dia bisa di tuliskan sebagai
   $f(z)=f(z_0)+A(z-z_0)+\eta(z)(z-z_0)$
disini, $A=f'(z_0)$ dan $\eta(z)\to 0$ ketika $z_0\to 0$. Jelas $\Delta z$ dapat menuju $0$ dalam tak hingga banyaknya cara yang berbeda.

Contoh : Tunjukkan bahwa, untuk setiap bilangan bulat positif $n$, $\frac{d}{dz_0}z^n=n.z^{n-1}$.
Dengan menggunakan binomial formula, kita dapatkan
 $\frac{(z+\Delta z)^n-z^n}{\Delta z}\\=\frac{\binom{n}{1}z^{n-1}\Delta z+\binom{n}{2}z^{n-2}(\Delta z)^2+\cdots+\binom{n}{n}(\Delta z)^n}{\Delta z}\\=n.z^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}z^{n-2}\Delta z+\cdots+(\Delta z)^{n-1}$
Oleh karena itu
  $\frac{d}{dz}z^n=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}=n.z^{n-1}$

Contoh : Jelas fungsi $f(z)=\bar{z}$ kontinu untuk semua $z$. Kita akan menunjukkan bahwa itu tidak dapat diturunkan. Karena
   $\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}=\frac{(\overline{z_0+\Delta z})-\bar{z_0}}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$
Jika $\Delta z$ real, maka $\Delta z=\overline{\Delta z}$ dan $\frac{d}{dz}\bar{z}=1$ Sedangkan jika $\Delta z$ imajiner, maka $\Delta z=-\overline{\Delta z}$ dan $\frac{d}{dz}\bar{z}=-1$. Kareanya, limitnya tidak ada ketika $\Delta z\to 0$. Akibatnya $\bar{z}$ tidak dapat diturunkan.

Teorema : Jika $f$ dan $g$ dapat diturunkan pada $z_0$, maka
  (i) $(f\pm g)'(z_0)=f'(z_0)\pm g'(z_0)$,
  (ii) $(cf)'(z_0)=cf'(z_0)$ dengan $c$ konstanta,
  (iii) $(fg)'(z_0)=f(z_0)g'(z_0)+g(z_0)f'(z_0)$,
  (iv) $\left(\frac{f}{g}\right)'(z_0)=\frac{f'(z_0)g(z_0)-g'(z_0)f(z_0)}{g^2(z_0)}$,
  (v) $(fog)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$. Asalkan $f$ dapat diturunkan pada $g(z_0)$.

Teorema : Jika $f$ dapat diturunkan pada $z_0$ maka kontinu pada $z_0$.

Sebuah fungsi $f(z)$ dikatakan analitik (atau holomorpik atau regular) di suatu himpunan terbuka $S$ jika dia mempunyai turunan di setiap titik pada $S$. Jika $S$ bukan himpunan terbuka, maka kita katakan $f$ analitik di $S$ jika $f$ analitik pada satu himpunan terbuka yang anggotanya berisi $S$. Kita katakan $f$ analitik pada titik $z_0$ jika $f$ analitik di beberapa daerah $z_0$. Penting untuk dicatat bahwa turunan didefinisikan pada suatu titik, sedangkan analitik didefinisikan pada himpunan terbuka. Jika suatu fungsi $f$ analitik di seluruh bidang kompleks, maka dikatakan fungsi entire.
 Sebagai contoh, semua fungsi polinom dari $z$ adalah entire. Untuk fungsi rasional $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$, dimana $P(z)$ dan $Q(z)$ adalah polinomial, misalkan $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}$ merupakan akar-akar dari $Q(z)$. Dengan sifat hasil bagi, $f'(z)$ ada $\forall z\in S=\mathbb{C}-\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}$. Karena $S$ terbuka, maka $f$ analitik di $S$.
Jika fungsi $f$ dan $g$ analitik di himpunan $S$, maka jumlah $f(z)+g(z)$, selisih $f(z)-g(z)$, dan perkalian $f(z)g(z)$ analitik di $S$. Hasil bagi $\frac{f(z)}{g(z)}$ analitik di $S$ asalkan $g(z)\neq 0$.

Teorema (sifat L'Hopital) : Andaikan $f$ dan $g$ fungsi analitik pada titik $z_0$ dan $f(z_0)=g(z_0)=0$ tetapi $g'(z_0)\neq 0$. Maka, $\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}$.

Contoh : Pandang fungsi $f(z)=z^{14}+1$ dan $g(z)=z^7+i$. Jelas $f(i)=g(i)=0$ tetapi $g'(i)=7(i)^6+1=-6$, Oleh karena itu $\lim\limits_{z\to i}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(i)}{g'(i)}=\frac{14(i)^{13}}{7(i)^6+1}=-\frac{7i}{3}$.

Jika fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ dapat diturunkan pada $z_0=x_0+iy_0$ maka limitnya ada dan dapat dihitung dengan memungkinkan $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$ untuk mendekati nol dari setiap arah yang mudah di bidang kompleks.
Jika mendekati nol secara horizontal maka $\Delta z=\Delta x$ dan kita dapatkan
$f'(z_0)$
$\begin{align*} =&\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}[u(x_0+\Delta x, y_0)+iv(x_0+\Delta x, y_0)\\ &-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)]\end{align*}$
$\begin{align*} =&\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left[\frac{u(x_0+\Delta x, y_0)-u(x_0, y_0)}{\Delta x}\right]\\ &+i\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left[\frac{v(x_0+\Delta x, y_0)-v(x_0, y_0)}{\Delta x}\right]\end{align*}$
Karena limit dari ekspresi kurung hanya turunan parsial dari $u$ dan $v$ berkenaan dengan $x$, kita simpulkan bahwa
      $f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0)$
Dilain sisi, Jika mendekati nol secara vertikal maka $\Delta z=i\Delta y$ kita punya
$f'(z_0)$
$\begin{align*} =&\lim\limits_{\Delta y\to 0}\left[\frac{u(x_0, y_0+\Delta y)-u(x_0, y_0)}{i\Delta y}\right]\\ &+i\lim\limits_{\Delta y\to 0}\left[\frac{v(x_0, y_0+\Delta x)-v(x_0, y_0)}{i\Delta y}\right]\end{align*}$
Dan kita simpulkan juga bahwa
$f'(z_0)=-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)+\frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0)$.
Sehingga dari kedua persamaan diatas kita melihat bahwa $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ dan $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$
harus dipenuhi di $z_0=x_0+iy_0$. Persamaan ini disebut dengan persamaan Cauchy-Riemann.

Teorema : Kondisi yang diperlukan untuk fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ agar dapat diturunkan pada titik $z_0$ adalah persamaan Cauchy-Riemann berlaku di $z0$. Akibatnya, jika $f$ adalah analitik dalam himpunan $S$ terbuka, maka persamaan Cauchy-Riemann harus dipenuhi pada setiap titik $S$.

Contoh : Fungsi $f(z)=(x^2+y)+i(y^2-x)$ tidak analitik pada setiap titik. Karena dari $u(x,y)=x^2+y$ dan $v(x,y)=y^2-x$, kita punya
$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$, $\frac{\partial u}{\partial y}=1$, $\frac{\partial v}{\partial x}=-1$, dan $\frac{\partial v}{\partial y}=2y$.
Akibatnya, persamaan Cauchy-Riemann secara bersamaan terjadi hanya ketika $x = y$ dan oleh karena itu tidak ada disk terbuka. Jadi, dengan teorema di atas, fungsi $f(z)$ tidak analitik.
Contoh : Fungsi $f(z)=Re(z)$ tidak analitik pada setiap titik. Disini $u(x,y)=x$ dan $v(x,y)=0$. Akibatnya $\frac{\partial u}{\partial x}=1$, $\frac{\partial u}{\partial y}=0$, $\frac{\partial v}{\partial x}=0$, dan $\frac{\partial v}{\partial y}=0$.
Contoh : Fungsi $f(z)=\bar{z}$ tidak analitik pada setiap titik. Disini $u(x,y)=x$ dan $v(x,y)=-y$. Akibatnya $\frac{\partial u}{\partial x}=1$, $\frac{\partial u}{\partial y}=0$, $\frac{\partial v}{\partial x}=0$, dan $\frac{\partial v}{\partial y}=-1$.

Jika $f$ dapat diturunkan pada $z_0$, maka menurut Teorema yang sebelumnya memastikan bahwa $f$ kontinu pada $z_0$. Namun, contoh berikut menunjukkan bahwa yang sebaliknya tidak benar.

Contoh : Fungsi $f(z)=\mid z\mid^2=x^2+y^2$ kontinu disetiap titik. Akan tetapi, tidak dapat diturunkan pada titik $z\neq 0$. Karena $u(x,y)=x^2+y^2$ dan $v(x,y)=0$. Akibatnya $\frac{\partial u}{\partial x}=2x$, $\frac{\partial u}{\partial y}=2y$, $\frac{\partial v}{\partial x}=0$, dan $\frac{\partial v}{\partial y}=0$.
Disini kita juga menunjukkan bahwa bahkan jika $u$ dan $v$ memiliki turunan parsial yang kontinu, $f$ tidak harus bisa diturunkan.

Contoh : Misalkan $f=u+iv$, dimana $u=\frac{xy}{x^2+y^2}$ untuk $(x,y)\neq (0,0)$ dan $u(0,0)=0$, $v(0,0)=0$, untuk semua $(x,y)$. Jelas pada $(0,0$, $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0$ yaitu semua turunan parsial ada dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann. Namun, $u$ tidak kontinu pada $(0,0)$, dan karenanya $f$ tidak dapat diturunkan pada $(0,0)$. Oleh karena itu, bahkan jika fungsi $f$ memenuhi persamaan Cauchy-Riemann pada titik $z_0$, dia tidak harus dapat diturunkan pada $z_0$.

Terlepas dari dua contoh di atas, kami memiliki hasil sebagai berikut.

Teorema : Misalkan $f=u(x,y)+iv(x,y)$ didefinisikan dalam beberapa himpunan terbuka $S$ yang mengandung titik $z_0$. Jika turunan parsial pertama dari $u$ dan $v$ ada di $S$, kontinu pada $z_0$, dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann pada $z_0$ maka $f$ dapat diturunkan pada $z_0$. Selain itu,
$\begin{align*}f'(z_0)&=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0)\\
&=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)
\end{align*}$
Akibatnya, jika turunan parsial pertama kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann pada semua titik $S$, maka $f$ analitik di $S$. Kita juga menuliskan bahwa jika $f$ dapat diturunkan hanya pada titik terbatas, maka $f$ tidak analitik.