Fungsi variabel kompleks

Kita telah melihat bahwa fungsi eksponensial kompleks $e^z=e^x(cos\ y+isin\ y)$ adalah entire, dan $\frac{d(e^z)}{dz}=e^z$. Dalam blog kali ini, pertama kita akan memberikan beberapa sifat lebih lanjut dari fungsi eksponensial, dan kemudian mendefinisikan fungsi kompleks trigonometri dan hiperbolik dalam hal $e^z$.

Misalkan $w=f(z)$ merupakan fungsi analitik di suatu domain $S$, maka fakta bahwa fungsi eksponensial entire. maka fungsi komposit $e^w$ juga analitik di $S$. Jadi, untuk setiap $z\in S$ kita punya $\frac{d}{dz}e^w=\frac{dw}{dz}e^w$. Oleh karena itu, secara khusus, fungsi $e^{z^2-iz+7}$ entire dan
$\frac{d}{dz}e^{z^2-iz+7}=(2z-i)e^{z^2-iz+7}$
Komponen polar dari $e^z$ diberikan oleh
$\mid e^z\mid=e^x$, $arg e^z=y+2k\pi$, $k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$.
Karena $e^x$ tidak akan bernilai nol, maka $e^z$ juga tidak akan bernilai nol. Namun, $e^z$ mengasumsikan setiap nilai bilangan kompleks lainnya.

Dalam kalkulus, ditunjukkan bahwa fungsi eksponensial adalah injektif pada sumbu real. Namun, itu bukan injektif di bidang kompleks. Bahkan, kita memiliki hasil sebagai berikut.

Teorema : (i) $e^z=1$ jika dan hanya jika $z=2k\pi i$, dimana $k$ bilangan bulat. (ii) $e^{z_1}=e^{z_2}$ jika dan hanya jika $z_1=z_2+2k\pi i$, dimana $k$ bilangan bulat.
Bukti : (i) Andaikan bahwa $e^z=1$ dengan $z=x+iy$. Maka kita harus punya

$\mid e^z\mid=\mid e^{x+iy}\mid=\mid e^xe^{iy}\mid=e^x=1$ jadi $x=0$. Maka
$e^z=e^{iy}=cos\ y+isin\ y=1$. Menyamakan bagian real dan bagian imajiner kita punya, $cos\ y=1$ dan $sin\ y=0$ kedua persamaan tersebut terpenuhi hanya ketika $y=2k\pi$ untuk setiap bilangan bulat $k$. Dengan kata lain $z=2k\pi i$. Sebaliknya, jika $z=2k\pi i$ dimana $k$ bilangan bulat, maka $e^z=e^{2k\pi i}=e^0(cos\ 2k\pi+isin\ 2k\pi)=1$
(ii) $e^{z_1}=e^{z_2}$ jika dan hanya jika $e^{z_1-z_2}=1$. Oleh karena itu sesuai bukti sebelumnya $z_1-z_2=2k\pi i$ atau $z_1=z_2+2k\pi i$ dimana $k$ bilangan bulat. (Terbukti)

Fungsi $f$ dikatakan periodik dalam domain $D$ jika ada suatu konstanta $\omega$ sehingga $f(z+\omega)=f(z)$ untuk setiap $z$ di $D$. Konstanta $\omega$ dengan properti ini disebut periode $f$.
Karena, $\forall z$, $e^{z+2k\pi i}=e^z$ kita dapatkan $e^z$ periodik dengan periode kompleks $2\pi i$. Akibatnya, jika kita membagi bidang $z$ ke dalam garis horizontal yang tak terbatas
$\begin{align*}S_n=\{&x+iy:-\infty < x < \infty,\\ &(2n-1)\pi < y\leq (2n+1)\pi,\\ &n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\}\end{align*}$
maka $e^z$ berperilaku dengan cara yang sama di setiap garis. $\phi$

Dari Teorema diatas bagian (ii), kita lihat bahwa $e^z$ injektif di setiap strip $S_n$. Akibatnya untuk fungsi $e^z$ kita tulis bahwa $\overline{e^z}=e^{\overline{z}}$.
Sekarang untuk bilangan kompleks $z$, kita definisikan
$sin\ z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
$cos\ z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
Karena $e^{iz}$ dan $e^{-iz}$ fungsi entire begitu juga $sin\ z$ dan $cos\ z$. Faktanya
$\begin{align*}\frac{d}{dz}sin\ z&=\frac{d}{dz}\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)\\&=\frac{1}{2i}(ie^{iz}-(-i)e^{-iz})\\&=cos\ z\end{align*}$
Begitupun
$\frac{d}{dz}cos\ z=-sin\ z$
Juga $\overline{sin\ z}=sin\ \bar{z}$, $\overline{cos\ z}=cos\ \bar{z}$.
Identitas trigonometrik yang biasa tetap berlaku dengan variabel kompleks:
$sin\ (z+2\pi)=sin\ z$ , $cos\ (z+2\pi)=cos\ z$
$sin\ (z+\pi)=-sin\ z$, $cos\ (z+\pi)=-cos\ z$, $sin\ (\frac{\pi}{2}-z)=cos\ z$, $sin\ (-z)=-sin\ z$, $cos\ (-z)=cos\ z$, $sin^2\ z+cos^2\ z=1$, $sin\ (z_1\pm z_2)=sin\ z_1.cos\ z_2\pm sin\ z_2.cos\ z_1$,  $cos\ (z_1\pm z_2)=cos\ z_1.cos\ z_2\mp sin\ z_1.sin\ z_2$, $sin\ 2z=2sin\ z.cos\ z$, $cos\ 2z=cos^2\ z-sin^2\ z$, $cos\ 2z_1-cos\ 2z_2=2sin\ (z_1+z_2)sin\ (z_1-z_2)$, $sin\ 2z_1-sin\ 2z_2=2cos\ (z_1+z_2)sin\ (z_1-z_2)$.
Untuk empat fungsi kompleks trigonometri yang lain kita definisikan
$tan\ z=\frac{sin\ z}{cos\ z}$, $cotan\ z=\frac{cos\ z}{sin\ z}$, $cosec\ z=\frac{1}{sin\ z}$, $sec\ z=\frac{1}{cos\ z}$. Selanjutnya untuk turunannya tetap berlaku juga
$\frac{d}{dz} tan\ z=sec^2\ z$, $\frac{d}{dz} cotan\ z=-cosec^2\ z$, $\frac{d}{dz} sec\ z=sec\ z.tan\ z$, $\frac{d}{dz} cosec\ z=-cosec\ z.cotan\ z$.
Untuk setiap bilangan kompleks $z$ didefinisikan
$sinh\ z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$ , $cosh\ z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$
Fungsi tersebut merupakan fungsi entire dan
$\frac{d}{dz}sinh\ z=cosh\ z$, $\frac{d}{dz}cosh\ z=sinh\ z$
Dari definisi fungsi hiperbolik sinus dan cosinus
$cosh\ (iz)=cos\ z$, $cos\ (iz)=cosh\ z$, $sinh\ (iz)=isin\ z$, dan $sin (iz)=isinh\ z$.

Identitas fungsi trigonometri hiperbolik
$sinh\ (-z)=-sinh\ (z)$, $cosh\ (-z)=cosh\ (z)$, $cosh^2\ z-sinh^2\ z=1$
$sinh\ (z_1\pm z_2)=sinh\ (z_1).cosh\ (z_2)\pm cosh\ (z_1).sinh\ (z_2)$
$cosh\ (z_1\pm z_2)=cosh\ (z_1).cosh\ (z_2)\pm sinh\ (z_1).sinh\ (z_2)$
$sinh\ 2z=2sinh\ z.cosh\ z$
Selanjutnya untuk turunannya diberikan
$\frac{d}{dz} tanh\ z=sech^2\ z$, $\frac{d}{dz} cotanh\ z=-cosech^2\ z$, $\frac{d}{dz} sech\ z=-sech\ z.tanh\ z$, $\frac{d}{dz} cosech\ z=-cosech\ z.cotanh\ z$.
Contoh : Tunjukkan bahwa $\mid sin\ z\mid ^2=sin^2\ x+sinh^2\ y$.
  Perhatikan bahwa $sin\ z=sin\ (x+iy)=sin\ x.cos\ (iy)+cos\ x.sin\ (iy)=sin\ x.cosh\ y+i.cos\ x.sinh\ y$
Sehingga $\mid sin\ z\mid ^2=sin^2\ x.cosh^2\ y+cos^2\ x.sinh^2\ y$
$\mid sin\ z\mid ^2=sin^2\ x.cosh^2\ y+(1-sin^2\ x).sinh^2\ y$
$\mid sin\ z\mid ^2=sin^2\ x.(cosh^2\ y-sin^2\ y)+sinh^2\ y$
$\mid sin\ z\mid ^2=sin^2\ x+sinh^2\ y$
dengan cara serupa kita juga bisa menunjukkan bahwa $\mid cos\ z\mid ^2=cos^2\ x+sinh^2\ y$.