Fungsi Analitik

Dalam blog ini, melanjutkan blog sebelumnya, pertama kita akan membuktikan Teorema yang terakhir pada blog sebelumnya dan kemudian melalui contoh-contoh sederhana tunjukkan betapa mudahnya hasil ini dapat digunakan untuk memeriksa analitik fungsi. Kita juga akan menunjukkan bahwa bagian real dan imajiner dari fungsi analitik adalah solusi dari persamaan Laplace.

Bukti Teorema : Dari kalkulus, kenaikan dari fungsi $u(x, y)$ and $v(x, y)$ di daerah titik $(x0,y0)$ dapat ditulis sebagai
$u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x_0,y_0)\\=u_x(x_0,y_0)\Delta x+u_y(x_0,y_0)\Delta y+\eta_1(x,y)$
dan
$v(x+\Delta x,y+\Delta y)-v(x_0,y_0)\\=v_x(x_0,y_0)\Delta x+v_y(x_0,y_0)\Delta y+\eta_2(x,y)$
dimana
$\lim\limits_{\mid\Delta z\mid\to 0}\frac{\eta_1(x,y)}{\Delta z}=0$ dan $\lim\limits_{\mid\Delta z\mid\to 0}\frac{\eta_2(x,y)}{\Delta z}=0$
Dengan demikian, mengingat kondisi Cauchy-Riemann
$\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$
$\begin{align*}=&u_x(x_0,y_0)\frac{\Delta x+i\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}+v_x(x_0,y_0)\frac{i\Delta x-\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}\\ &+\frac{\eta_1(x,y)+i\eta_2(x,y)}{\Delta x+i\Delta y}\end{align*}$
$=[u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)]+\frac{\eta (z)}{\Delta z}$
Dimana $\eta (z)=\eta_1(x,y)+i\eta_2(x,y)$. Sekarang ambil limit ketika $\Delta z\to 0$ di kedua sisi dan menggunakan fakta bahwa $\frac{\eta (z)}{\Delta z}\to 0$ ketika $\Delta z\to 0$, Kita dapatkan
$f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)$ (Terbukti)

Kami tau bahwa syarat perlu dan syarat cukup untuk analitik fungsi $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ di suatu domain $S$ adalah mempunyai turunan parsial $u_x,u_y,v_x,v_y$ yang kontinu, yang memenuhi kondisi Cauchy-Riemann. Dari sini bahwa jika $f(z)$ analitik di suatu domain $S$ maka fungsi $g(z)=\overline{f(z)}$ tidak analitik di $S$.

Contoh : Tinjau fungsi eksponensial $f(z)=e^z=e^x(cos\ y+isin\ y)$ maka $u(x,y)=e^xcos\ y\) dan \(v(x,y)=e^xsin\ y$ dan

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=e^xcos\ y\) dan \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=-e^xsin\ y$
di manapun dan turunan ini kontinu dimanapun. Maka dari itu $f'(z)$ ada dan
$\begin{align*}f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}&=e^xcos\ y+ie^xsin\ y\\&=e^z=f(z)\end{align*}$

Contoh : Fungsi $f(z)=z^3=x^3-3xy^2+i(x^2y-y^3)$ adalah fungsi entire dan $f'(z)=3z^2$

Contoh : Tinjau fungsi $f(z)=x^2+y+i(2y-x)$. Kita punya $u(x,y)=x^2+y$ dan $v(x,y)=2y-x$ maka $u_x=2x$, $u_y=1$, $v_x=-1$ dan $v_y=2$. Oleh karena itu, persamaan Cauchy Riemann terpenuhi ketika $x=1$. Karena semua turunan parsial kontinu. Kita simpulkan bahwa $f'(z)$ ada hanya pada garis $x=1$ dan
$f'(1+iy)=\frac{\partial u}{\partial x}(1,y)+i\frac{\partial v}{\partial x}(1,y)=2-i$

Contoh : Misalkan $f(z)=\bar{z}e^{-\mid z\mid^2}$. Tentukan titik dimana $f'(z)$ ada, dan temukan $f'(z)$ di titik tersebut. Karena $f(z)=(x-iy)e^{-(x^2+y^2)}$, $u(x,y)=xe^{-(x^2+y^2)}\), \(v(x,y)=-ye^{-(x^2+y^2)}$, dan
$\frac{\partial u}{\partial x}=e^{-(x^2+y^2)}-2x^2e^{-(x^2+y^2)}\),  \(\frac{\partial u}{\partial y}=-2xye^{-(x^2+y^2)}$,
$\frac{\partial v}{\partial x}=2xye^{-(x^2+y^2)}\),  \(\frac{\partial v}{\partial y}=-e^{-(x^2+y^2)}+2y^2e^{-(x^2+y^2)}$
Oleh karena itu $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ memenuhi, dan $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y}$ berlaku jika dan hanya jika
$2e^{-(x^2+y^2)}-2x^2e^{-(x^2+y^2)}-2y^2e^{-(x^2+y^2)}=0$
atau
$2e^{-(x^2+y^2)}(1-x^2-y^2)=0$, sehingga didapat $x^2+y^2=1$. Karena semua turunan parsial $f$ kontinu, kita simpulkan bahwa $f'(z)$ ada pada lingkaran satuan $\mid z\mid =1$. Selanjutnya, pada $\mid z\mid =1$ didapatkan
$f'(x+iy)=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)\\=e^{-(x^2+y^2)}-2x^2e^{-(x^2+y^2)}+2ixye^{-(x^2+y^2)}\\=e^{-1}(1-2x^2+2ixy)$

Teorema : Andaikan $\phi(x,y)$ adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan dalam suatu domain $S$. Jika $\phi_x=\phi_y=0$ pada semua titik di $S$, maka $\phi$ suatu konstanta di $S$.

Teorema : Jika $f(z)$ analitik di suatu  domain $S$ dan jika $f'(z)=0$ dimanapun di $S$, maka $f(z)$ suatu konstanta di $S$.
Bukti : Karena $f'(z)=0$ di $S$, semua turunan parsial pertamanya dari $u$ maupun $v$ lenyap dalam $S$ dengan kata lain $u_x=u_y=v_x=v_y=0$. Sekarang karena $S$ terhubung, kita punya $u=a$ konstanta dan $v=a$ konstanta di $S$. Akibatnya $f=u+iv$ juga konstanta di $S$ (Terbukti)

Properti keterhubungan $S$ sangat penting. Fakta jika $f(z)$ didefinisikan oleh
$f(x)=\begin{cases} 1 & \mid z\mid<1\\ 2 & \mid z\mid>2 \end{cases}$ maka $f$ analitik dan $f'(z)=0$ pada domain definisi, tetapi $f$ bukan konstanta.

Teorema : Jika $f$ analitik di suatu domain $S$ dan jika $\mid f\mid$ konstan disana, maka $f$ konstan.
Bukti : Seperti biasa, misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$.
Jika $\mid f\mid =0$ maka $f=0$. Jika tidak $\mid f\mid^2=u^2+v^2\equiv c\neq 0$. Ambil turunan parsial terhadap $x$ dan $y$, kita mempunyai
$uu_x+vv_x=0$ dan $uu_y+vv_y=0$
Berdasarkan persamaan Cauchy-Riemann, kita dapatkan $uu_x-vu_y=0$ dan $vu_x+uu_y=0$ sehingga
$(u^2+v^2)u_x=0$ dan $(u^2+v^2)u_y=0$
Dan oleh karena itu $u_x=u_y=0$. Demikian juga $v_x=v_y=0$. Jadi, $f$ konstan. (Terbukti)

Selanjutnya, misalkan $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ fungsi analitik di suatu domain $S$, sehingga persamaan Cauchy-Riemann $u_x=v_y$ dan $u_y=-v_x$ terpenuhi. Turunkan kedua sisi persamaan terhadap $x$ (assumsikan bahwa fungsi $u$ dan $v$ keduanya kontinu dapat diturunkan, meskipun assumsi ini berlebihan), kita dapatkan
$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2v}{\partial x\partial y}$ dan $\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}=-\frac{\partial^2v}{\partial x^2}$
Demikian juga turunan terhadap $y$ menghasilkan
$\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2v}{\partial y^2}$ dan $\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2v}{\partial y\partial x}$
Oleh karena itu,
$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$ dan $\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0$
Turunan parsial tersebut dikatakan sebagai persamaan Laplace.

Suatu fungsi bernilai real $\phi(x,y)$ dikatakan harmonik di suatu domain $S$ jika semua turunan parsial kedua kontinu di $S$ dan memenuhi $\phi_{xx}+\phi_{yy}=0$ pada setiap titik di $S$

Teorema : Jika $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ analitik di suatu domain $S$, maka setiap fungsi $u(x,y)$ dan $v(x,y)$ harmonik di $S$.

Contoh : Apakah ada fungsi analitik pada bidang kompleks yang bagian real nya diberikan oleh $u(x,y)=3x^2+xy+y^2$? Jelas, $u_{xx}=6, u_{yy}=2$ dan oleh karena itu $u_{xx}+u_{yy}\neq 0$, dengan kata lain $u$ tidak harmonik. Jadi, tidak ada fungsi analitik seperti itu.

Misalkan $u(x,y)$ dan $v(x,y)$ dua fungsi harmonik di suatu domain $S$ yang memenuhi persamaan Cauchy-Riemann pada setiap titik $S$. Maka $u(x,y)$ dan $v(x,y)$ dikatakan konjugat harmonik satu sama lain. Mengetahui salah satu darinya, kita bisa membangun yang lain ke dalam konstanta sembarang.

Contoh : Berikan fungsi analitik yang bagian real nya adalah $u(x,y)=x^3-3xy^2+7y$. Karena $u_{xx}+u_{yy}=6x-6x=0$, $u$ harmonik di seluruh bidang. Kita harus mencari fungsi $v(x,y)$ sehingga $u$ dan $v$ memenuhi persamaan Cauchy-Riemann, dengan kata lain
$v_y=u_x=3x^2-3y^2$ dan $v_x=-u_y=6xy-7$
Integralkan persaman pertama terhadap $y$ didapat
$v(x,y)=3x^2y-y^3+\psi (x)$
Turunkan terhadap $x$ didapat
$v_x=6xy+\psi '(x)=6xy-7$
Dan oleh karena itu, $\psi '(x)=-7$ yang menunjukkan bahwa $\psi (x)=-7x+C$, dimana $C$ suatu konstanta.
Sehingga $v(x,y)=3x^2y-y^3-7x+C$. Jadi, fungsi analitik yang diperlukan adalah
$f(z)=x^3-3xy^2+7y+i(3x^2y-y^3-7x+C)$.

Contoh : Temukan suatu fungsi analitik $f$ yang bagian imajiner nya diberikan oleh $e^{-y}sin\ x$. Misalkan $v(x,y)=e^{-y}sin\ x$, maka mudah diperiksa bahwa $v_{xx}+v_{yy}=0$. $v$ harmonik di seluruh bidang. Berdasarkan persamaan Cauchy-Riemann
$u_x=v_y=-e^{-y}sin\ x$ dan $u_y=-v_x=-e^{-y}cos\ x$
Integralkan persamaan pertama terhadap $x$
$u(x,y)=e^{-y}cos\ x+\psi (y)$
Turunkan terhadap $y$
$u_y=-e^{-y}cos\ x+\psi '(y)=-e^{-y}cos\ x$
Dan oleh karena itu $\psi '(y)=0$ atau $\psi (y)=C$ dimana $C$ suatu konstanta. Sehingga $u(x,y)=e^{-y}cos\ x+C$. Jadi fungsi analitik yang kita cari adalah
$\begin{align*}f(z)&=e^{-y}cos\ x+C+i(e^{-y}sin\ x)\\ &=e^{-y+ix}+C\end{align*}$