Konsep Subgrup (Aljabar Abstrak)

 Setelah postingan saya sebelumnya yang membahas terkait grup dan sifat-sifat grup berikutnya akan dibahas terkait subgrup. Oke langsung saja pada pembahasannya.

Definisi SubGrup

Misalkan $(G,*)$ adalah Grup, $S$ himpunan bagian tak kosong dari $G$ dikatakan subgrup $(G,*)$ jika $S$ membentuk grup juga dengan operasi $*$.

Setiap grup $(G,*)$ pasti selalu memiliki subgrup, setidaknya yaitu $G$ sendiri dan himpunan yang anggotanya hanyalah unsur identitas yang dinamakan dengan subgrup trivial. Subgrup lain selain $\{e\}$ disebut subgrup nontrivial. Subgrup $S$ dari $(G,*)$, dengan $S\neq G$ disebut subgrup sejati.

Dari definisi tersebut kita tahu bahwa jika $(G,*)$ adalah Grup dan $S\subseteq G$, maka $S$ merupakan subgrup dari $G$, asalkan $(S,*)$ Grup. Sehingga untuk $a,b\in S$ maka $a*b\in S$ yang berarti $S$ tertutup terhadap operasi $*$.

Kemudian karena subgrup itu adalah Grup maka subgrup haruslah memiliki elemen identitas dan setiap elemennya haruslah memiliki invers seperti yang sudah dijelaskan pada postingan sebelumnya.

Lema

Misalkan $(G,*)$ Grup dan $S$ subgrup dari $G$.

    -) Jika $f$ adalah elemen identitas di $S$ dan $e$ elemen identitas di $G$, maka $f=e$

    -) Jika $a\in S$, maka invers dari $a$ di $S$ sama dengan invers dari $a$ di $G$

Bukti :

    -) Ambil $a\in S$. Karena $f$ elemen identitas di $S$, maka $a*f=f*a=a$

Karena $S\subseteq G$, maka $a\in G$. Disisi lain $e\in G$ adalah elemen identitas di $G$. Jadi kita juga punya $a*e=e*a=a$

Dari kedua persamaan tersebut, kita peroleh bahwa $a*f=a*e$. Dengan mengoperasikan $a^{-1}$ dari kiri maka di dapat $f=e$. 

    -) Ambil $a\in S$. Misalkan $e$ elemen identitas di $G$. Karena $S\subseteq G$ maka $a\in G$. Andaikan invers $a\in S$ dan invers $a\in G$ berurut-turut adalah $b\in S$ dan $c\in G$. Akan ditunjukkan bahwa $b=c$. Jelas bahwa

$a*b=b*a=e$

dan

$a*c=c*a=e$

Dari keduanya didapat

$a*b=a*c$

$c*a*b=c*a*c$

$e*b=e*c$

$b=c$

Jadi terbukti bahwa $b=c$

Tentu untuk menunjukkan suatu himpunan bagian adalah subgrup harus memeriksa dengan $4$ aksioma yang sebelumnya. Nah berikutnya akan diberikan teorema yang lebih simpel yang dapat digunakan untuk menunjukkan apakah suatu himpunan bagian merupakan subgrup atau bukan.

Teorema

Misal $(G,*)$ adalah Grup dan $S\subseteq G$. Himpunan $S$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika

    -) $S$ himpunan tak kosong

    -) Jika $a\in S$ dan $b\in S$, maka $a*b\in S$

    -) Jika $a\in S$, maka $a^{-1}\in S$

Bukti : Diserahkan pada pembaca

Kesimpulannya, untuk membuktikan suatu himpunan bagian itu adalah subgrup terdapat tiga syarat yaitu bukan himpunan kosong, tertutup pada operasinya, dan setiap elemennya memiliki invers.

Contoh :

 Tunjukan bahwa $S=\{2m|m\in \mathbb{Z}\}$ adalah subgrup dari himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan standar.

Jawab :

    -) Jelas $S$ bukan himpunan kosong karena $0\in S$

    -) Ambil $a,b\in S$ maka kita bisa nyatakan $a=2k$ dan $b=2l$ untuk suatu $k,l\in\mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa $a+b=2k+2l=2(k+l)$. Karena $k+l\in\mathbb{Z}$ maka $a+b\in S$

    -) Untuk setiap $a\in S$. Kita punya $a+(-a)=0$. Jadi $-a$ adalah invers dari $a$, dimana jelas $-a\in S$.