Sifat Dasar Pada Grup (Aljabar Abstrak)

 Sifat dasar pada grup yang akan dibahas pada postingan kali ini diantaranya meliputi hukum pembatalan dan sifat perpangkatan pada Grup. Pada postingan sebelumnya sudah dibahas mengenai Grup itu sendiri. Sebagaimana pada postingan sebelumnya unsur pembangun dari Grup itu terdiri atas suatu himpunan, operasi, dan aksioma yg telah dibahas. Jadi, langsung saja kita bahas terkait sifat pada Grup.

Teorema :

Misalkan $(G,*)$ merupakan Grup.

    -) Jika $a,b,c\in G$ dan $a*b=a*c$ maka $b=c$ (hukum pembatalan kiri)

    -) Jika $a,b,c\in G$ dan $a*b=c*b$ maka $a=c$ (hukum pembatalan kanan)

    -) Jika $a,b\in G$, maka setiap persamaan $a*x=b$ dan $x*a=b$ mempunyai penyelesaian tunggal di $G$. Yaitu pada persamaan pertama $x=a^{-1}b$, pada persamaan kedua $x=ba^{-1}$.

    -) Jika $a\in G$ maka $(a^{-1})^{-1}=a$.

    -) Jika $a\in G$ maka $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.

Bukti :

    -) Kita punya $a*b=a*c$ dan misalkan $e$ elemen identitas di $G$. Karena $G$ Grup, maka $a$ memiliki invers, sehingga diperoleh

$a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c$

$e*b=e*c$

$b=c$

    -) Kita punya $a*b=c*b$ dan misalkan $e$ elemen identitas di $G$. Karena $G$ Grup, maka $b$ memiliki invers, sehingga diperoleh

$a*b*b^{-1}=c*b*b^{-1}$

$a*e=c*e$

$a=c$

    -) Pandang bahwa $a*x=b$. Kemudian kita operasikan dengan $a^{-1}$ dari kiri maka kita dapatkan

$a^{-1}*a*x=a^{-1}*b$

$e*x=a^{-1}*b$

$x=a^{-1}*b$

    Pandang bahwa $x*a=b$. Kemudian kita operasikan dengan $a^{-1}$ dari kanan maka kita dapatkan

$x*a*a^{-1}=b*a^{-1}$

$x*e=b*a^{-1}$

$x=b*a^{-1}$

Selanjutnya akan ditunjukkan ketunggalannya. Andaikan $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian dari persamaan $a*x=b$ dimana $x_1\neq x_2$. Karena $x_1,x_2$ penyelesaian maka berlaku $a*x_1=b$ dan $a*x_2=b$. Jadi

$\begin{align*}a*x_1 &=a*x_2\\ a^{-1}*a*x_1 &=a^{-1}*a*x_2\\ e*x_1&=e*x_2\\ x_1 &=x_2\end{align*}$

Dengan cara serupa untuk persamaan $x*a=b$

    -) Akan ditunjukan bahwa $(a^{-1})^{-1}=a$. Menurut definisi invers maka didapat

$(a^{-1})^{-1}*a^{-1}=e$

$(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a=e*a$

$(a^{-1})^{-1}*e=a$

$(a^{-1})^{-1}=a$

    -) Akan ditunjukan bahwa $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. Menurut definisi invers maka didapat

$(a*b)^{-1}*(a*b)=e$

$(a*b)^{-1}*(a*b)*b^{-1}=e*b^{-1}$

$(a*b)^{-1}*a*(b*b^{-1})=b^{-1}$

$(a*b)^{-1}*a*e=b^{-1}$

$(a*b)^{-1}*a=b^{-1}$

$(a*b)^{-1}*a*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

$(a*b)^{-1}*e=b^{-1}*a^{-1}$

$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

    Selanjutnya akan dijelaskan terkait perpangkatan. Pandang Grup $(G,*)$ kemudian untuk setiap bilangan bulat positif $n$ didefinisikan perpangkatan dari elemen-elemen $G$ sebagai berikut :

$a^0=e; a^1=a; a^2=a*a; a^3=a*a*a$

$a^n=a*a*\cdots *a$ sebanyak $n$ unsur $a$

$a^{n+1}=a^n*a$ dan $a^{-n}=(a^{-1})^n$

Akan ditunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat positif $m$ dan $n$ pernyataan berikut berlaku :

    -) $a^m*a^n=a^{m+n}$

    -) $(a^m)^n=a^{mn}$

Bukti :

Ambil sebarang bilangan bulat positif $m$ dan $n$.

    -) Perhatikan bahwa

$a^m*a^n=(a*a*\cdots *a)*(a*a*\cdots *a)$

(pertama terdapat $a$ sebanyak $m$ kedua terdapat $a$ sebanyak $n$)

$a^m*a^n=(a*a*\cdots *a)$ ($a$ sebanyak $m+n$)

Jadi terbukti bahwa

$a^m*a^n=a^{m+n}$

    -) Untuk pembuktian $(a^m)^n=a^{mn}$, silakan dicoba sendiri.

Orde dari grup dan elemen grup

Misalkan $(G,*)$ adalah grup dan $a\in G$. 

Orde dari grup $G$ adalah banyaknya elemen dari $G$ atau yang kita kenal dengan kardinalitas dari $G$ di lambangkan dengan $o(G)$ atau $|G|$.

Sedangkan orde dari elemen $a$ adalah bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $a^n=e$, serta berorde tak hingga jika tidak ada $n$ yang seperti itu.