Definisi Grup Dalam Aljabar Abstrak Beserta Contohnya

Oke guys di postingan kali ini, kita akan membahas Teori Grup. Dalam postingan ini akan dibahas tentang definisi Grup dan contohnya. Silakan dipahami dengan baik ya guys.

 Definisi dan Contoh dari Grup

Istilah grup digunakan oleh Galois pada tahun 1830-an untuk menjelaskan kumpulan fungsi satu-satu dalam himpunan terbatas yang dapat dikelompokkan bersama membentuk suatu himpunan tertutup dalam komposisi. Jadi, apa itu Grup?? Sebelum itu, saya terlebih dahulu menjelaskan tentang operasi biner. Berikut definisinya.

Definisi Operasi Biner

Misalkan $G$ merupakan suatu himpunan. Operasi biner pada $G$ adalah fungsi yang menetapkan setiap pasangan terurut elemen $G$ 

Hal yang perlu di perhatikan disini yaitu hasil dari operasi dari dua elemen suatu himpunan haruslah merupakan elemen dari himpunan itu juga. Sebagai contoh misalnya dua bilangan bulat yang dijumlahkan, tentu hasilnya berupa bilangan bulat juga. Beda halnya dengan operasi pengurangan pada bilangan asli, hasilnya belum tentu berupa bilangan asli juga. Maka operasi pengurangan bukanlah operasi biner pada himpunan bilangan asli.

Dari sini kita dapat mengatakan bahwa suatu operasi $*$ pada himpunan $H$ dikatakan biner jika dan hanya jika

$\forall a,b\in H\rightarrow a*b\in H$

Kondisi ini sering disebut sebagai sifat ketertutupan (closure property) atau kita katakan $H$ tertutup terhadap operasi $*$. Selanjutnya akan dibahas tentang Grup.

Definisi Grup

Diberikan suatu himpunan $G$ dengan operasi biner $*$. Himpunan $G$ terhadap operasi biner $*$ disebut Grup jika 4 aksioma berikut terpenuhi :

    1. Himpunan $G$ tertutup terhadap operasi $*$, yaitu $\forall a,b\in G$ berlaku $a*b\in G$

    2. Operasi $*$ bersifat asosiatif, yaitu $\forall a,b,c\in G$ berlaku $a*(b*c)=(a*b)*c$

    3. Terdapat elemen identitas, yaitu ada $e\in G$ sedemikian sehingga $\forall a\in G a*e=e*a=a$

    4. Adanya elemen invers, yaitu $\forall a\in G$ terdapat $d\in G$ sedemikian sehingga $a*d=d*a=e$

        Elemen $d$ tersebut disebut invers dari $a$. Invers dari $a$ biasanya dinyatakan sebagai $a^{-1}$ atau $-a$.

Perhatikan bahwa dari definisi tersebut menjelaskan bahwa terdapat 4 (empat) syarat yang harus dipenuhi agar suatu himpunan membentuk Grup yaitu : 

1. Ketertutupan, 

2. Operasi tersebut bersifat asosiatif

3. Adanya elemen identitas

4. Adanya elemen invers

Sifat ketertutupan sebenarnya jika operasi sudah merupakan operasi biner, maka otomatis sifat tersebut terpenuhi. Akan tetapi, kadangkala bahwa sifat ketertutupan ini dipakai juga dalam memeriksa apakah suatu himpunan membentuk Grup atau tidak. 

Lebih lanjut terkait dalam blog ini juga dibahas tentang sifat grup.

Contoh :

Periksa apakah $G=\{2^n|n\in\mathbb{Z}\}$ membentuk Grup terhadap operasi perkalian.

Jawab : 

-) Akan ditunjukkan bahwa $G$ tertutup terhadap operasi perkalian. Ambil $a,b\in G$ maka $a=2^k$ dan $b=2^l$ untuk suatu $k,l\in \mathbb{Z}$. Sehingga $ab=2^k.2^l=2^{k+l}$. Jelas $k+l\in\mathbb{Z}$ jadi $ab\in G$.

-) Jelas bahwa operasi perkalian bersifat asosiatif.

-) Terdapat $2^{0}\in G$ yang merupakan elemen identitas, sebab untuk setiap $g\in G$ berlaku $g.2^{0}=g.1=g$ dan $2^{0}.g=1.g=g$.

-) Untuk setiap $g=2^n\in G$ terdapat $g^{-1}=2^{-n}\in G$ sehingga berlaku $g.g^{-1}=g^{-1}.g=1=2^{0}$ yang merupakan unsur identitas di $G$.

Jadi $G$ membentuk Grup terhadap operasi perkalian.

Berikutnya pandang $(G,*)$ suatu grup. Jika operasi pada grup yakni dalam kasus ini adalah $*$ bersifat komutatif yaitu untuk setiap $a,b\in G$ berlaku $a*b=b*a$ maka disebut grup komutatif atau grup abelian.