Pembahasan Soal Seleksi KN-MIPA PT 2021 Matematika Bidang Aljabar Linear

  Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Selamat datang di blog kami, di kesempatan ini kami akan membahas soal seleksi KN-MIPA PT 2021 Matematika Bidang Aljabar Linear tingkat Universitas. Oke sebelumnya pembahasan ini kami buat dengan ilmu kami yang seadanya jika dirasa ada kesalahan dalam pembahasan kami silahkan langsung tuliskan di kolom komentar agar kami dapat memperbaikinya.

Langsung saja berikut adalah soal seleksi KN-MIPA PT tahun 2021 bidang aljabar linear

1. Diberikan $L=\{A\in M_{2\times 2}\mid A^{-1} \text{ada}\}$ dengan $M_{2\times 2}$ ruang vektor matriks berordo $2\times 2$. Selidiki apakah $L$ merupakan sub ruang dari $M_{2\times 2}$.

2. Berilah contoh matriks dengan polinomial karakteristik

$p(\lambda)=1-2\lambda +\lambda^2+3\lambda^3+\lambda^4$

Jelaskan jawaban Anda.

Pembahasan

1. Pilih $\vec{a}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$ dan $\vec{b}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$. Jelas bahwa $\vec{a},\vec{b}\in L$. Kemudian

$\vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix}$

Karena kita tahu bahwa $\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix}=0$ artinya $\vec{a}+\vec{b}\notin L$. Jadi, $L$ bukan sub ruang dari $M_{2\times 2}$.

2. Pada aljabar linear kita tahu matriks companion frobenius dari polinomial monik $p(t)=c_0+c_1t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+c_nt^n$ adalah matriks persegi yang didefinisikan oleh $C(p)=\begin{pmatrix}0 & 0 &\cdots & 0 & -c_0\\ 1 & 0 &\cdots &0 &-c_1\\ 0 & 1 &\cdots &0 &-c_2\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\ 0 & 0 &\cdots &1 &-c_{n-1}\end{pmatrix}$

Maka dari itu kita bisa mendapatkan contoh matriks dengan polinomial karakteristik

$p(\lambda)=1-2\lambda +\lambda^2+3\lambda^3+\lambda^4$ yaitu $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 &0 &2\\ 0 & 1 &0 &-1\\ 0 & 0 &1 &-3\end{pmatrix}$