Pembahasan Soal Seleksi KN-MIPA PT 2021 Matematika Bidang Analisis Kompleks

  Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Selamat datang di blog kami, di kesempatan ini kami akan membahas soal seleksi KN-MIPA PT 2021 Matematika Bidang Analisis Kompleks tingkat Universitas. Oke sebelumnya pembahasan ini kami buat dengan ilmu kami yang seadanya jika dirasa ada kesalahan dalam pembahasan kami silahkan langsung tuliskan di kolom komentar agar kami dapat memperbaikinya.

Langsung saja berikut adalah soal seleksi KN-MIPA PT tahun 2021 bidang analisis kompleks

Misalkan bilangan kompleks $z=i-1$ dengan $i^2=-1$, maka

a. Tentukan $z^{2021}$

b. Tentukan $z^{\frac{1}{2}}$

Pembahasan

Diketahui bilangan kompleks $z=i-1$ dengan $i^2=-1$

a. Perhatikan bahwa $z^2=(i-1)^2=i^2-2i+1=-2i$. Kemudian $z^4=(z^2)^2=(-2i)^2=4i^2=-4$. Oleh karena itu $z^{2021}=(z^4)^{505}z=-4^{505}(i-1)$

Jadi, $z^{2021}=2^{1010}-2^{1010}i$

b. Misalkan $z^{\frac{1}{2}}=a+bi$ dimana $a,b\in \mathbb{R}$. Maka perhatikan bahwa $z=a^2-b^2+2abi=i-1$. Sehingga diperoleh bahwa $a^2-b^2=-1$ dan $2ab=1$. 

Dari persamaan terakhir diperoleh $a=\frac{1}{2b}$, Substitusi ke persamaan $a^2-b^2=-1$ diperoleh $\frac{1}{4b^2}-b^2=-1$ atau $4b^4-4b^2-1=0$.

Berdasarkan rumus ABC karena $b\in \mathbb{R}$ didapat

$b=\pm\sqrt{\frac{4+\sqrt{32}}{8}}$

$b=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$

$a=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$

Sehingga $z^{\frac{1}{2}}=\pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}+i\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right)$