Fungsi Pembangkit Biasa

Haii di kesempatan kali ini akan dibahas mengenai fungsi pembangkit biasa. Silahkan kalian simak pembahasannya.

Fungsi Pembangkit Biasa

Misalkan $(a_r)=(a_1,a_2,a_3,\cdots)$ merupakan suatu barisan bilangan. Fungsi pembangkit biasa dari barisan $a_r$ didefinisikan oleh deret pangkat

$\begin{align}A(x)&=\sum_{r=0}^{\infty}a_r x^r\\ &=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots\end{align}$

Dua fungsi pembangkit $A(x)$ dan $B(x)$ berturut turut merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(a_r)$ dan $(b_r)$ dianggap sama jika dan hanya jika $a_i=b_i$ untuk setiap $i=0,1,2,\cdots$.
Misalkan $A(x)$ dan $B(x)$ berturut turut menyatakan fungsi pembangkit untuk barisan $(a_r)$ dan $(b_r)$. Yakni
$\begin{align}A(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots\end{align}$
$\begin{align}B(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots\end{align}$
Penjumlahan $A(x)+B(x)$ dan hasil kali $A(x)B(x)$ dari $A(x)$ dan $B(x)$ didefinisikan oleh
$\begin{align}A(x)+B(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+\cdots\end{align}$
$\begin{align}A(x)B(x)=d_0+d_1 x+d_2 x^2+\cdots\end{align}$

Dimana $c_r=a_r+b_r$ dan $d_r=a_0b_r+a_1b_{r-1}+\cdots +a_rb_0$ untuk $r=0,1,2,\cdots$
Kemudian juga untuk setiap konstanta $\alpha$
$\begin{align}\alpha A(x)=\alpha a_0+\alpha a_1 x+\alpha a_2 x^2+\cdots\end{align}$
Barisan $(c_r)$ dan $(d_r)$ diatas berhingga, kedua operasi tersebut sama seperti pada polinomial.

Sekarang, untuk setiap $\alpha\in\mathbb{R}$ dan setiap $r\in\mathbb{N}$, kita tahu bahwa
$\binom{\alpha}{r}=\frac{P_r^{\alpha}}{r!}$,
dimana $P_r^{\alpha}=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-r+1)$
Kita juga tahu bahwa dengan binomial Newton
$\begin{align}(1\pm x)^{\alpha}&=\sum_{r=0}^{\infty}\binom{\alpha}{r}(\pm x)^r\\ &=1\pm\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{2!}x^3+\cdots\\ &\ +(-1)^r\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-r+1)}{r!}+\cdots\end{align}$
Kemudian juga kita tahu
$\binom{\alpha}{r-1}+\binom{\alpha}{r}=\binom{\alpha +1}{r}$
Menurut binomial newton diatas kita punya
$\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}=1+x+x^2+\cdots$
dan $\frac{1}{(1-x)^2}=(1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+\cdots$
Secara umum kita punya
$\begin{align}&\frac{1}{(1-x)^n}\\ &=(1-x)^{-n}\\ &=1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3+\cdots\\ &=1+\binom{1+n-1}{1}x+\binom{2+n-1}{2}x^2+\cdots+\binom{r+n-1}{r}x^r\cdots \end{align}$
untuk setiap $n\in{N}$

Contoh :

• Untuk setiap $n$ bilangan bulat tak negatif, misalkan $(a_r)$ suatu barisan dimana

$a_r=\begin{cases}1 &\text{jika}\ r=n\\ 0 &\text{jika}\ r\neq n\end{cases}$
Maka fungsi pembangkit untuk $a_r$ adalah $x^n$

• Fungsi pembangkit untuk barisan $\left(\binom{n}{0},\binom{n}{1},\cdots,\binom{n}{n},0,0,\cdots\right)$ adalah

$\begin{align}\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}x^r=(1+x)^n \end{align}$

• Fungsi pembangkit untuk barisan $(1,1,1,\cdots)$ adalah

$1+x+x^2+\cdots =\frac{1}{1-x}$
Secara umum, fungsi pembangkit untuk barisan $(1,k,k^2,\cdots)$ dimana $k$ sebarang konstanta adalah
$1+kx+k^2x^2+\cdots =\frac{1}{1-kx}$

• Fungsi pembangkit untuk barisan $(1,2,3,\cdots)$ adalah

$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots =\frac{1}{(1-x)^2}$

• Fungsi pembangkit untuk barisan

$\left(\binom{n-1}{0},\binom{1+n-1}{1},\cdots,\binom{r+n-1}{r},\cdots\right)$

adalah

$\begin{align}\sum_{r=0}^{\infty}\binom{r+n-1}{r}x^r=\frac{1}{(1-x)^n} \end{align}$

Contoh diatas tersebut sangat berguna dalam mencari koefisien dari fungsi pembangkit. Perhatikan contoh soal berikut.

Carilah koefisien dari $x^{k}$, $k\geq 18$, pada ekspansi $(x^3+x^4+x^5+\cdots)^6$

Solusi : Perhatikan bahwa

$(x^3+x^4+x^5+\cdots)^6$

$=[x^3(1+x^2+x^3+\cdots)]^6$

$=x^{18}(1+x^2+x^3+\cdots)^6$

$=x^{18}(\frac{1}{1-x})^6$

$=x^{18}\begin{align}\sum_{r=0}{\infty}\binom{r+6-1}{r}x^r\end{align}$

$=x^{18}\begin{align}\sum_{r=0}{\infty}\binom{r+5}{r}x^r\end{align}$

Maka dari itu koefisien dari $x^{k}$, $k\geq 18$, pada ekspansi $(x^3+x^4+x^5+\cdots)^6$ sama halnya dengan koefisien dari $x^{k-18}$ pada $\begin{align}\sum_{r=0}{\infty}\binom{r+5}{r}x^r\end{align}$, yaitu $\binom{k-18+5}{5}=\binom{k-13}{5}$

khususnya, koefisien dari $x^{30}$ pada pada ekspansi $(x^3+x^4+x^5+\cdots)^6$ adalah $\binom{17}{5}$

Teorema Operasi pada Fungsi Pembangkit : Misalkan $A(x)$ dan $B(x)$ berturut turut merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(a_r)$ dan $(b_r)$. Maka

    (i) untuk sebarang bilangan $\alpha$ dan $\beta$, $\alpha A(x)+\beta B(x)$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=\alpha a_r+\beta b_r$, untuk semua $r$

    (ii) $A(x)B(x)$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=a_0b_r+a_1b_{r-1}+\cdots+a_rb_0$, untuk semua $r$

    (iii) $A^2(x)$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=a_0a_r+a_1a_{r-1}+\cdots+a_ra_0$, untuk semua $r$

    (iv) $x^mA(x)$, $m\in\mathbb{N}$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=\begin{cases}0 &\text{jika}\ 0\leq r\leq m-1\\ 1 &\text{jika}\ r\geq m\end{cases}$

    (v) $A(kx)$, dimana $k$ suatu konstanta merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=k^ra_r$, untuk semua $r$

    (vi) $(1-x)A(x)$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_0=a_0$ dan $c_r=a_r-a_{r-1}$, untuk semua $r\geq 1$

    (vii) $\frac{A(x)}{1-x}$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_r$, untuk semua $r$

    (viii) $A'(x)$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=(r+1)a_{r+1}$, untuk semua $r$

    (ix) $xA'(x)$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_r=ra_r$, untuk semua $r$

    (x) $\int_0^{x}A(t)\ dt$ merupakan fungsi pembangkit untuk barisan $(c_r)$, dimana $c_0=0$ dan $c_r=\frac{a_{r-1}}{r}$, untuk semua $r\geq 1$