Pembahasan Soal KTOM Simulasi OSK SMP Tahun 2026

Hallo semuanya, pada postingan kita kali ini akan dibahas mengenai soal Soal Kontes Terbuka Olimpiade Matematika (KTOM) Simulasi OSN K SMP Tahun 2026, yang diadakan pada tanggal 29 Mei 2026 hingga 2 Juni 2026. 

Note: Pembahasan ini akan di update setiap hari nya jika saya sempat. 

Baiklah langsung saja ke pembahasan nya. 

1. Diberikan sebuah fungsi $f : \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ memenuhi $f(f(n)) = f(f(n + 2) − 2) = n$ dengan $f(0) = 1$. Tentukan nilai dari $f(67)$.

Jawab : Dari soal karena $f(f(n))=f(f(n+2)-2)$ maka $f(n)=f(n+2)-2$ atau $f(n+2)=f(n)+2$.

Perhatikan bahwa untuk $n=0$ kita punya $f(f(0)) =f(1) =0$.

Dari $f(n+2)=f(n)+2$ dan $f(1) =0$, kita dapatkan $f(67) =67-1=66$. (C) 

2. Havier akan mengambil $8$ bola dari sebuah kotak yang berisikan $8$ bola merah dan $8$ bola putih. Havier ingin setidaknya $3$ bola merah dan $3$ bola putih muncul pada pengambilan tersebut. Peluang kejadian tersebut adalah $\frac{m}{n}$ dengan $m, n$ bilangan asli relatif prima. Tentukan $m + n$.

Jawab : Banyak anggota ruang sampel adalah $C(16, 8) =\frac{16!}{8!8!}=12870$. 

Banyak anggota kejadian dimana terdapat setidaknya $3$ bola merah dan $3$ bola putih, banyak cara pengambilan nya adalah $\binom{8}{3}\binom{8}{5} +\binom{8}{4} \binom{8}{4}+\binom{8}{5}\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!}\frac{8!}{5!3!}+\frac{8!}{4!4!}\frac{8!}{4!4!}+\frac{8!}{5!3!}\frac{8!}{3!5!}=3136+4900+3136=11172$.

Jadi, peluang nya adalah $\frac{m}{n}=\frac{11172}{12870}=\frac{1862}{2165}$

Jadi $m+n=1862+2145=4007$. (C)

3. Diberikan sebuah himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Tentukan banyaknya fungsi $f :A \to A$ yang memenuhi $f(f(x)) = x$ untuk semua $x\in A$.

Jawab : Karena $f(f(x)) =x$, ada 2 kemungkinan $f(x)=x$ atau jika $f(x) =y$ maka $f(y) =x$. Kita cukup memperhatikan jika $f(x) =y$ maka $f(y) =x$. 

Karena $|A|=6$ maka banyak maksimal terdapat $3$ pasang yang saling siklis. Kita bagi kasus.

Jika ada $0$ pasang yang saling siklis, maka hanya ada $1$ fungsi yaitu $f(x) =x$.

Jika ada $1$ pasang yang saling siklis, maka banyak fungsi nya adalah $C(6,2)=\frac{6!}{4!2!}=15$.

Jika ada $2$ pasang yang saling siklis, maka banyak fungsi nya adalah $\frac{C(6,2)C(4,2)}{2!}=\frac{\frac{6!}{4!2!}\frac{4!}{2!2!}}{2!}=45$.

Jika ada $3$ pasang yang saling siklis, maka banyak fungsi nya adalah $\frac{C(6,2)C(4,2)C(2,2)}{3!}=\frac{\frac{6!}{4!2!}\frac{4!}{2!2!}\frac{2!}{0!2!}}{3!}=15$.

Jadi total fungsi nya ada sebanyak $1+15+45+15=76$ (D) 

4. Diberikan suatu data yang berisikan $67$ bilangan asli berbeda $x_1, x_2, x_3, . . . , x_{67}$ naik tegas yang memiliki jangkauan $66$. Tentukan varians dari data tersebut.

Jawab : Perhatikan bahwa $1\leq x_1<x_2<x_3<... <x_{67}$. Dan kita dapatkan $x_{67}-x_1=66$ atau $x_{67}=x_1+66$. Karena semuanya berbeda, maka haruslah $x_{n}=x_{n-1}+1$. Akibat nya $x_n=x_1+n-1$. Diperoleh

Rata-rata=$\frac{67x_1+2211}{67}=x_1+33$

Varians =$\frac{(-33)^2+(-32)^2+(-31)^2+... +31^2+32^2+33^2}{67}=\frac{2(33)(34)(67)/6}{67}=374$ (B) 

5. Carilah banyak himpunan delapan bilangan asli berbeda dengan rata-rata tidak lebih dari $\frac{11}{2}$.

Jawab : Perhatikan hal ini sama halnya dengan mencari banyak himpunan 8 bilangan asli berbeda yang jumlahnya tidak lebih dari $44$.

Misalkan $8$ bilangan tersebut $x_1, x_2, x_3,..., x_8$. 

Karena berbeda maka $x_1+x_2+...+x_8\geq 1+2+...+8=36$. Jadi, 

$36\leq x_1+x_2+...+x_8\leq 44$. Untuk mempermudah misalkan $y_i=x_i+i$ dimana $y_i\geq 0$, dan

$y_1+y_2+...+y_8\leq 8$. Definisikan $p(n)$ banyak solusi untuk $y_1+y_2+...+y_8=n$. Tujuan kita akan mencari nilai $p(0)+p(1)+p(2)+... +p(8)$. Hitung nilainya masing-masing

$p(0) =1$; $p(1) =1$; $p(2) =2$; $p(3)=3$; $p(4)=5$; $p(5)=7$; $p(6)=11$; $p(7) =15$; dan $p(8) =22$.

Sehingga nilai $p(0)+p(1)+p(2)+... +p(8)=1+1+2+3+5+7+11+15+22=67$ (D) 

6. Misalkan bilangan real $x$ merupakan jawaban dari soal ini. Maka, tentukan nilai dari $x ^3−2x^2−4x−12$

Jawab : Kita punya persamaan $x^3-2x^2-4x-12=x$.

$x^3-2x^2-5x-12=0$

$(x-4)(x^2+2x+3)=0$

Karena $x$ bilangan real maka nilai $x=4$. (C) 

7. Diberikan satu dek kartu berisi $40$ kartu yang terdiri dari kartu-kartu berwarna merah, biru, kuning, dan hijau, masing-masing bernomor $1$ sampai $10$. Tidak ada dua kartu yang memiliki warna dan nomor yang sama. Empat kartu akan diambil secara acak. Tentukan banyaknya kemungkinan kombinasi kartu yang dapat diambil sehingga setidaknya terdapat tiga kartu dengan nomor yang sama.

Jawab : Ada dua kasus yakni jika tepat tiga dari empat kartu yang dipilih bernomor sama dan keempatnya bernomor sama. 

Jika kempat kartu yang dipilih bernomor sama, Maka ada $10$ kemungkinan. 

Jika terdapat tepat tiga dari empat bernomor sama, maka ada $C(4, 3) \times 10\times C(4,1)\times 9=1440$ kemungkinan. 

Jadi, banyak kemungkinan kombinasi kartu yang dapat diambil adalah $10+1440=1450$ (C) 

8. Anon sedang melakukan permainan menggunakan sebuah dadu dan suatu papan berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi $5$ yang telah dibagi menjadi $25$ sel berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi $1$. Sebuah bidak diletakkan pada salah satu sel tersebut secara acak. Dalam suatu giliran, Anon akan melempar sebuah dadu dan memindahkan bidaknya sebanyak mata dadu yang muncul ke salah satu sel yang berbagi sisi yang sama dengan sel tempat bidak berada. Anon menang apabila bidaknya berhasil mencapai sel yang berada di salah satu ujung susunan sel tersebut. Tentukan peluang Anon untuk menang dalam kurang dari 3 giliran.

Jawab : $\frac{163}{225}$

9. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=13$, $BC=14$, dan $CA=15$. Garis bagi sudut dalam $A$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ di titik $X$ dan garis bagi sudut dalam $B$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ di titik $Y$ . Tentukan panjang dari $XY$

Jawab : $\frac{13\sqrt{5}}{2}$

10. Diberikan bilangan real $a$ dan $b$ sehingga

$2^a + 2^b = 2$

$2^{2^a}+ 2^{2^b}= 6$

Tentukan nilai dari $8^{2^a}+ 8^{2^b}$

Jawab: Perhatikan bahwa

$2^a=2-2^b$ sehingga

$2^{2^a}+ 2^{2^b}= 6$

$2^{2-2^b}+2^{2^b}= 6$

Misal $x=2^{2^b}$ maka

$\frac{4}{x}+x=6$

$4+x^2=6x$

$x^2-6x+4=0$

Oleh karena itu kita dapatkan nilai

$8^{2^a}+ 8^{2^b}=(2^{2^a})^3+(2^{2^b})^3$

$=(6-x)^3+x^3$

$=216-108x+18x^2$

$=18(x^2-6x+4)+144$

$=18(0) +144$

$=144$ (D) 

11. Sebuah balok berukuran $6 \times 8 \times 10$ diletakkan di dalam sebuah kerucut dengan jari-jari $r$ dan tinggi h sehingga alas balok yang berukuran $6 \times 8$ berada tepat di alas kerucut dan semua volume balok berada di dalam kerucut. Pusat alas balok berhimpit dengan pusat alas kerucut. Jika nilai minimum dari $r+h$ adalah $A+B\sqrt{2}$ di mana $A, B$ bilangan asli, tentukan nilai dari $A + B$

Jawab : $25$ (D) 

12. Misalkan $a, b, c,$ dan $d$ adalah empat digit tak nol yang saling berbeda. Didefinisikan $K$ sebagai bilangan asli terbesar yang mungkin sehingga keempat bilangan $\overline{abcd}, \overline{bcda}, \overline{cdab}, \overline{dabc}$ dapat dimuat dalam barisan aritmatika dengan beda $K$. Tentukan jumlah semua nilai K yang mungkin.

Jawab : 

13. Diberikan fungsi $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, dimana untuk setiap bilangan real $t, f(t)$ adalah bilangan real terbesar sedemikian sehingga berlaku

$f(t)\leq\sqrt{(a+6)^2+(t+2)^2}+\sqrt{(a-18)^2+(t+4)^2}$

untuk semua bilangan real $a$. Maka tentukan nilai dari $f(6)^2 + f(7)^2 $

Jawab : Perhatikan bahwa

$f(t)=min\left\{\sqrt{(a+6)^2+(t+2)^2}+\sqrt{(a-18)^2+(t+4)^2}\right\}$

Sekarang kita gunakan geometri analitik untuk memperoleh nilai nya. 

Misalkan titik $A=(a, t)$ , $B=(-6, -2)$ dan $C=(18, -4)$.

Jadi $f(t)$ menyatakan minimal jarak $AB+AC$. Untuk mendapatkan ini kita cukup merefleksikan $B$ terhadap $y=t$ diperoleh titik $B'=(-6, 2t+2)$. Minimal jarak $AB+AC$ adalah jarak $B'C$ yaitu

$\sqrt{24^2+(-2t-6)^2}$

Jadi $f(t)=\sqrt{24^2+(-2t-6)^2}$. Nilai dari $f(6)^2+f(7)^2=24^2+(-2.6-6)^2+24^2+(-2.7-6)^2=1876$ (D) 

14. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ABC = 90^{\circ}$.Lingkaran $\omega$ melalui $B$ dan menyinggung $AC$. Misalkan $\omega$ berpotongan dengan $AB$ dan $BC$ pada $E \neq B$ dan $F \neq B$ secara berturut-turut. Jika diketahui bahwa $EF$ sejajar dengan $AC$ serta $\frac{AC}{EF} = 2026$, Tentukan jumlah dari semua nilai yang mungkin dari $\frac{AB}{BC}$

Jawab : $4050$ (A) 

15. Pada olimpiade catur, Gukesh dan Javokhir akan bermain beberapa permainan catur. Untuk setiap permainan catur, jika hasilnya tidak seri, maka pemenang mendapat $1$ poin, sementara yang kalah mendapat $0$ poin. Jika seri, kedua pemain mendapat $\frac{1}{2}$ poin. Permainan akan dilakukan satu per satu. Jika setelah suatu permainan terdapat pemain yang mendapat skor lebih dari $7$, maka olimpiade langsung dihentikan. Jika pada akhir olimpiade, Gukesh dan Javokhir memiliki $G$ dan $J$ poin, tentukan banyaknya pasangan terurut $(G, J)$ yang mungkin.

Jawab : 

16. Diberikan segitiga $ABC$ dengan sisi $a, b, c$. Misalkan $D$ adalah titik pada $BC$ sehingga $AD$ merupakan garis tinggi segitiga $ABC$. Jika $a^2 + 2026b^2 = 2026c^2$, maka nilai dari $\frac{CD}{BD}$ adalah $\frac{m}{n}$ dengan $m, n$ relatif prima. Tentukan nilai dari $m+ n$

Jawab : $4052$ (A) 

17. Tentukan sisa pembagian $123123123... 123$ oleh $101$

Jawab : $4$ (B) 

18. Terdapat data tunggal yang berisikan 10 bilangan asli $Q_1 \leq Q_2 \leq Q3 \leq . . . \leq Q_{10}$. Misalkan dari data tersebut, $A$ menyatakan modus (data yang paling banyak muncul, diketahui tunggal), $B$ menyatakan rata-rata, $C$ menyatakan jangkauan (selisih data terbesar dan terkecil), dan $D$ menyatakan simpangan kuartil (setengah dari selisih kuartil atas dan kuartil bawah) yang memenuhi persamaan:

$2A + B + C = 19, 4$

$2A + B − D = 15, 9$

Tentukan banyaknya tupel $(Q_1, Q_2, . . . , Q_{10})$ yang memenuhi persyaratan tersebut. 

19. Triple T merupakan seseorang tukang kayu. Ia mengukir satu atau lebih bilangan bulat positif pada titik-titik yang terletak merata di sepanjang keliling sebuah meja bundar. Dua ukiran meja dianggap sama apabila salah satu dari meja tersebut dapat diputar sehingga menjadi identik dengan meja selainnya. Diketahui pula bahwa hasil penjumlahan seluruh bilangan yang diukir pada suatu meja adalah 13. Maka tentukan banyaknya meja berbeda yang dapat dibuat oleh Triple T.

Jawab :

20. Diberikan bilangan bulat positif $m$ dan $n$ yang memenuhi

$\frac{2}{m}+\frac{3}{n}=\frac{1}{5}$

Tentukan nilai terbesar yang mungkin dari $m+n$

Jawab : Kalikan kedua ruas dengan $5mn$ diperoleh

$10n+15m=mn$

$mn-10n-15m=0$

$(m-10)(n-15)=150$

Faktor positif dari

$150=1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150$

Nilai maksimal $m+n$ adalah $176$ yaitu jika pasangan $(m-10,n-15)$ sama dengan $(1, 150)$ atau $(150, 1)$. (D) 

21. Diberikan bilangan real tak nol $x, y, z$ yang memenuhi