Pembahasan Soal KTOM Simulasi OSK SMP Tahun 2026

Hallo semuanya, pada postingan kita kali ini akan dibahas mengenai soal Soal Kontes Terbuka Olimpiade Matematika (KTOM) Simulasi OSN K SMP Tahun 2026, yang diadakan pada tanggal 29 Mei 2026 hingga 2 Juni 2026. 

Note: Pembahasan ini akan di update setiap hari nya jika saya sempat. 

Baiklah langsung saja ke pembahasan nya. 

1. Diberikan sebuah fungsi $f : \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ memenuhi $f(f(n)) = f(f(n + 2) − 2) = n$ dengan $f(0) = 1$. Tentukan nilai dari $f(67)$.

Jawab : Dari soal karena $f(f(n))=f(f(n+2)-2)$ maka $f(n)=f(n+2)-2$ atau $f(n+2)=f(n)+2$.

Perhatikan bahwa untuk $n=0$ kita punya $f(f(0)) =f(1) =0$.

Dari $f(n+2)=f(n)+2$ dan $f(1) =0$, kita dapatkan $f(67) =67-1=66$. (C) 

2. Havier akan mengambil $8$ bola dari sebuah kotak yang berisikan $8$ bola merah dan $8$ bola putih. Havier ingin setidaknya $3$ bola merah dan $3$ bola putih muncul pada pengambilan tersebut. Peluang kejadian tersebut adalah $\frac{m}{n}$ dengan $m, n$ bilangan asli relatif prima. Tentukan $m + n$.

Jawab : Banyak anggota ruang sampel adalah $C(16, 8) =\frac{16!}{8!8!}=12870$. 

Banyak anggota kejadian dimana terdapat setidaknya $3$ bola merah dan $3$ bola putih, banyak cara pengambilan nya adalah $\binom{8}{3}\binom{8}{5} +\binom{8}{4} \binom{8}{4}+\binom{8}{5}\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!}\frac{8!}{5!3!}+\frac{8!}{4!4!}\frac{8!}{4!4!}+\frac{8!}{5!3!}\frac{8!}{3!5!}=3136+4900+3136=11172$.

Jadi, peluang nya adalah $\frac{m}{n}=\frac{11172}{12870}=\frac{1862}{2165}$

Jadi $m+n=1862+2145=4007$. (C)

3. Diberikan sebuah himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Tentukan banyaknya fungsi $f :A \to A$ yang memenuhi $f(f(x)) = x$ untuk semua $x\in A$.

Jawab : Karena $f(f(x)) =x$, ada 2 kemungkinan $f(x)=x$ atau jika $f(x) =y$ maka $f(y) =x$. Kita cukup memperhatikan jika $f(x) =y$ maka $f(y) =x$. 

Karena $|A|=6$ maka banyak maksimal terdapat $3$ pasang yang saling siklis. Kita bagi kasus.

Jika ada $0$ pasang yang saling siklis, maka hanya ada $1$ fungsi yaitu $f(x) =x$.

Jika ada $1$ pasang yang saling siklis, maka banyak fungsi nya adalah $C(6,2)=\frac{6!}{4!2!}=15$.

Jika ada $2$ pasang yang saling siklis, maka banyak fungsi nya adalah $\frac{C(6,2)C(4,2)}{2!}=\frac{\frac{6!}{4!2!}\frac{4!}{2!2!}}{2!}=45$.

Jika ada $3$ pasang yang saling siklis, maka banyak fungsi nya adalah $\frac{C(6,2)C(4,2)C(2,2)}{3!}=\frac{\frac{6!}{4!2!}\frac{4!}{2!2!}\frac{2!}{0!2!}}{3!}=15$.

Jadi total fungsi nya ada sebanyak $1+15+45+15=76$ (D) 

4. Diberikan suatu data yang berisikan $67$ bilangan asli berbeda $x_1, x_2, x_3, . . . , x_{67}$ naik tegas yang memiliki jangkauan $66$. Tentukan varians dari data tersebut.

Jawab : Perhatikan bahwa $1\leq x_1<x_2<x_3<... <x_{67}$. Dan kita dapatkan $x_{67}-x_1=66$ atau $x_{67}=x_1+66$. Karena semuanya berbeda, maka haruslah $x_{n}=x_{n-1}+1$. Akibat nya $x_n=x_1+n-1$. Diperoleh

Rata-rata=$\frac{67x_1+2211}{67}=x_1+33$

Varians =$\frac{(-33)^2+(-32)^2+(-31)^2+... +31^2+32^2+33^2}{67}=\frac{2(33)(34)(67)/6}{67}=374$ (B) 

5. Carilah banyak himpunan delapan bilangan asli berbeda dengan rata-rata tidak lebih dari $\frac{11}{2}$.

Jawab : Perhatikan hal ini sama halnya dengan mencari banyak himpunan 8 bilangan asli berbeda yang jumlahnya tidak lebih dari $44$.

Misalkan $8$ bilangan tersebut $x_1, x_2, x_3,..., x_8$. 

Karena berbeda maka $x_1+x_2+...+x_8\geq 1+2+...+8=36$. Jadi, 

$36\leq x_1+x_2+...+x_8\leq 44$. Untuk mempermudah misalkan $y_i=x_i+i$ dimana $y_i\geq 0$, dan

$y_1+y_2+...+y_8\leq 8$. Definisikan $p(n)$ banyak solusi untuk $y_1+y_2+...+y_8=n$. Tujuan kita akan mencari nilai $p(0)+p(1)+p(2)+... +p(8)$. Hitung nilainya masing-masing

$p(0) =1$; $p(1) =1$; $p(2) =2$; $p(3)=3$; $p(4)=5$; $p(5)=7$; $p(6)=11$; $p(7) =15$; dan $p(8) =22$.

Sehingga nilai $p(0)+p(1)+p(2)+... +p(8)=1+1+2+3+5+7+11+15+22=67$ (D) 

6. Misalkan bilangan real $x$ merupakan jawaban dari soal ini. Maka, tentukan nilai

dari $x ^3−2x^2−4x−12$

Jawab : Kita punya persamaan $x^3-2x^2-4x-12=x$.

$x^3-2x^2-5x-12=0$

$(x-4)(x^2+2x+3)=0$

Karena $x$ bilangan real maka nilai $x=4$. (C) 

7.