Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi)

Translasi (Pergeseran)

Pernahkah kalian melihat sebuah eskalator di sebuah mall?? Eskalator merupakan alat tangga berjalan untuk mengangkut orang yang bisa bergerak ke atas atau kebawah. Peristiwa tersebut merupakan contoh penerapan translasi (pergeseran).

Translasi adalah pergeseran atau pemindahan semua titik pada bangun geometri dengan panjang dan dan arah yang sama. Bayangan yang dihasilkan dari proses translasi hanya mengalami perubahan posisi, tapi tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Sebagai contoh : Katakanlah kita punya persegi panjang $ABCD$ dimana titik $A(-3,5)$, $B(2,5)$, $C(2,1)$, $D(-3,1)$. Kita lakukan translasi yakni sebesar 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah. Maka akan didapatkan hasil translasinya yaitu $A'(-1,2)$ , $B'(4,2)$, $C'(4,1)$, $D'(-1,1)$.

Pergeseran sejauh 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah dapat dituliskan sebagai pasangan bilangan $\left(\begin{matrix} 2\\ -3 \end{matrix}\right)$ dimana $2$ dan $-3$ sebagai komponennya. Jadi, bisa kita simpulkan bahwa jika titik $A(x,y)$ ditranslasikan sejauh $\left(\begin{matrix} a\\ b \end{matrix}\right)$ akan menghasilkan bayangan $A'(x',y')=(x+a,y+b)$.

Agar lebih paham perhatikan persoalan berikut.

Titik $M(-5,2)$ ditranslasikan sejauh $\left(\begin{matrix} 3\\ -6 \end{matrix}\right)$, tentukan koordina bayangannya!

Penyelesaian : Untuk mencari koordinat bayangan dari $M$ atau $M'$ kita bisa menggambarya pada koordinat kartesius kemudian geser titik $M$ sejauh 3 satuan ke kanan dan 6 satuan ke bawah sehingga nantinya kita bisa dapatkan koordinat dari bayangannya. Atau kita bisa gunakan rumus $A'(x',y')=(-5+3, 2+(-6))=(-2,-4)$. Jadi, bayangan dari $M(-5,2)$ adalah $M'(-2,-4)$. 

Refleksi (Pencerminan)

Pernahkah kalian bercermin? bagaimana bayangan yang tampak pada cermin tersebut? bayangan yang tampak pada cermin akan mempunyai bentuk dan jarak yang sama terhadap cermin. Peristiwa tersebut merupakan contoh penerapan refleksi (pencerminan). 

Refleksi (pencerminan) adalah pemindahan setiap titik suatu bangun geometri dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Sifat-sifat bayangan cermin antara lain adalah sebagai berikut.

1. Jarak antara objek ke cermin akan sama dengan jarak antara bayangan ke cermin.

2. Bayangan yang dihasilkan akan memiliki ukuran dan bentuk yang sama dengan objek aslinya.

Koordinat titik bayangan yang dihasilkan daripada refleksi (pencerminan) bergantung pada titik, sumbu atau garis pencerminannya. Sebagai contoh berikut merupakan refleksi terhadap titik, sumbu, ataupun garis.

1. Refleksi terhadap titik pusat $(0,0)$

2. Refleksi terhadap sumbu $x$

3. Refleksi terhadap sumbu $y$

4. Refleksi terhadap garis $y=x$

5. Refleksi terhadap garis $y=-x$

6. Refleksi terhadap garis $x=h$

7. Refleksi terhadap garis $y=k$

8. Refleksi terhadap titik $P(a,b)$

Rotasi (Perputaran)

Pernahkah kalian bermain wahana bianglala?? Kalian akan mengalai perputaran posisi, mulai dari posisi paling bawah ke posisi paling atas dan kemudian balik lagi ke bawah. Peristiwa tersebut merupakan contoh penerapan rotasi (perputaran)

Rotasi (perputaran) adalah pemindahan semua titik pada bidang yang bergerak seanjang busur lingkaran pada titik pusat rotasi sejauh sudut dan arah putaran tertentu. Bayangan yang dihasilkan dari rotasi hanya mengalami perubahan posisi, tapi tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Berikut ini berberapa hal yang perlu kalian tahu dalam rotasi (perputaran).

1. Sudut rotasi, memiliki nilai $0^{\circ}-360^{\circ}$. Namun dalam postingan ini akan dijelaskan perputaran dengan sudut sudut $90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}$, dan $360^{\circ}$.

2. Arah rotasi, jika rotasi berlawanan arah jarum jam maka sudut rotasi bernilai positif. Sebaliknya, jika rotasi searah jarum jam maka sudut rotasi bernilai negatif.

3. Titik pusat rotasi, suatu titik yang menjadi acuan perputaran. Titik pusat dapat berupa titik asal $O(0,0)$ atau titik sebarang $P(a,b)$.

Koordinat titik bayangan yang dihasilkan daripada rotasi (perputaran) bergantung pada sudut, arah, dan titik rotasi. Untuk lebih jelasnya pehatikan penjelasan berikut terkait rotasi (perputaran).

1. Rotasi dengan pusat $O(0,0)$

• Rotasi sejauh $90^{\circ}$
• Rotasi sejauh $180^{\circ}$
• Rotasi sejauh $270^{\circ}$
• Rotasi sejauh $360^{\circ}$

2. Rotasi dengan pusat $P(a,b)$

• Rotasi sejauh $90^{\circ}$
• Rotasi sejauh $180^{\circ}$
• Rotasi sejauh $270^{\circ}$
• Rotasi sejauh $360^{\circ}$

Dilatasi (Perkalian)

Apa yang terjadi ketika kita melihat seekor semut dengan kaca pembesar?? maka seekor semut akan tampak lebih jelas. Kaca pembesar merupakan salah satu contoh penerapan dilatasi. 

Dilatasi adalah transformasi yang hanya mengubah ukuran suatu objek tanpa mengubah bentuk. Dilatasi memiliki dua unsur penting yaitu titik pusat dan faktor skala. Titik pusat adalah titik acuan untuk memperbesar atau memperkecil suatu objek yang berfungsi untuk menentukan posisi dari dilatasi. Faktor skala adalah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat. Dilatasi yang berpusat di titik $O(0,0)$ dengan faktor skala $k$ dapat dinyatakan dengan lambang $[O,k]$.